Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Passo 1

A distância entre o ponto 3,0 e um ponto qualquer x , y é dada pelo seguinte:

d = x - 3 2 + y - 0 2 = x 2 - 6 x + 9 + y 2

Ora, se uma função é dada por y = x , teríamos a distância dada assim:

d = x 2 - 6 x + 9 + x 2 = x 2 - 6 x + 9 + x

d x = x 2 - 5 x + 9

Vamos otimizar essa função:

d ' x = x 2 - 5 x + 9 ' 2 x 2 - 5 x + 9 = 2 x - 5 2 x 2 - 5 x + 9 = 0

A solução que zera a derivada é

x = 5 2

Com y 5 2 = 5 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos comprovar que esse é um ponto de mínimo. Repara, a função d explode quando x cresce demais, indo pra + ou - :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 5 x + 9 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 5 x + 9 = + ∞

Dado que a gente só tem um ponto crítico, temos certeza que ele será um mínimo!

Resposta

5 2 , 5 2

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