Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

9 . Uma casa tem uma janela em forma de arco cujo formato é dado pela metade superior de uma elipse. A casa será reformada e deseja-se colocar concreto no arco a fim de fechá-lo, mantendo-se apenas uma janela retangular, como na figura abaixo:

Considerando que o arco original tem altura igual a 130   c m e largura igual a 80   c m , qual o maior valor possível para a área dessa janela?

A : 7800   c m 2

B : 13000   c m 2

C : 10400   c m 2

D : 2600   c m 2

E : 5200   c m 2

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Vamos colocar uns eixos na figura para facilitar nossa vida, assim:

Temos um problema de otimização em mãos, para encontramos a maior área possível da janela temos que relacionar a equação da elipse coma área do retângulo.

E com isso achar uma função da área em função de uma variável, aí a gente deriva essa função e iguala a zero para ver o valor que faz essa área ser máxima.

A equação da elipse considerando que ela esteja centrada na origem, é dada por:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

A área do retângulo é dada por:

A = 2 x ⋅ y

Passo 2

Vamos isolar y na equação da elipse, temos:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

⇒ y 2 a 2 = 1 - x 2 b 2

⇒ y 2 = a 2 - a 2 x 2 b 2

Assim temos:

y = a 2 - a 2 x 2 b 2

Substituindo isso na expressão da área do retângulo, temos:

A = 2 x a 2 - a 2 x 2 b 2

Passo 3

Agora vamos derivar essa expressão da área em função de x , assim:

A ' = 2 a 2 - a 2 x 2 b 2 + 2 x - a 2 x b 2 a 2 - a 2 x 2 b 2

= 2 b 2 a 2 - a 2 x 2 b 2 - 2 a 2 x 2 b 2 a 2 - a 2 x 2 b 2 = 2 b 2 a 2 - 4 a 2 x 2 b 2 a 2 - a 2 x 2 b 2

Então temos que:

A ' = 2 b 2 a 2 - 4 a 2 x 2 b 2 a 2 - a 2 x 2 b 2

Agora igualando isso a zero, temos:

2 b 2 a 2 - 4 a 2 x 2 b 2 a 2 - a 2 x 2 b 2 = 0

⇒ 2 b 2 a 2 - 4 a 2 x 2 = 0

⇒ 4 a 2 x 2 = 2 b 2 a 2

⇒ x = b 2 2

Esse é o valor de x que faz a área ser máxima, então vamos calcular A para esse valor de x .

Passo 4

A área é dada por:

A = 2 x a 2 - a 2 x 2 b 2

Substituindo x = b 2 2 , temos:

A = 2 b 2 2 a 2 - a 2 b 2 b 2 2 2

= 2 b 2 2 a 2 - a 2 b 2 b 2 2

= 2 b 2 2 a 2 - a 2 2

Assim temos:

A = 2 b 2 2 a 2 2 = 2 b 2 a 2 4

⇒ A = 2 b a 2 = b a

Usando que a = 130   c m e b = 80 2 = 40   c m , assim:

A = ( 130 ) ( 40 )

⇒ A = 5200   c m 2

Então nossa escolha vai ser a letra E .

Resposta

E : 5200   c m 2

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