Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro conhecido, determine aquele que possui a maior área.

Passo 1

Bom, vou começar esboçando um triângulo isósceles (dois lados iguais) bem como suas principais dimensões (os lados e a altura).

Ok, nós sabemos que para todos os triângulos a área é dada assim:

A = a . h 2   ,             B a s e   x   A l t u r a 2

Queremos, nessa situação, a área máxima e qual configuração nos daria isso; se configurou um problema de otimização. Precisamos juntar a equação em função de uma só variável.

Só que não temos absolutamente nenhuma informação direta sobre essas variáveis. Porém temos duas relações, uma dada e uma do desenho, que podem nos ajudar a juntar tudo que queremos. Primeiro, sobre o perímetro conhecido (vou chamar de uma constante P):

P = a + 2 b           ( 1 )

Segundo, sobre o triângulo retângulo da figura:

a 2 2 + h 2 = b 2           ( 2 )

Agora, vamos isolar b em ( 1 ) , jogar esse valor em ( 2 ) e nela isolamos h .

b = P - a 2   → h = b 2 - a 2 2

h = P - a 2 2 - a 2 2 = P 2 - 2 P a 2

Sendo P uma constante, temos então h em função de a . Para finalizar essa análise jogamos tudo na equação da área:

A = a . h 2 = a P 2 - 2 P a 4 = A ( a )

Ok, agora como fazemos para descobrir essa configuração máxima? Derivamos e igualamos essa equação da derivada da área a 0 . Vamos usar aí a Regra do Produto e da Cadeia:

A ' a = a ' P 2 - 2 P a 4 + a P 2 - 2 P a ' 4 = 0

P 2 - 2 P a 4 + a 1 2 P 2 - 2 P a ' P 2 - 2 P a 4 = 0

P 2 - 2 P a 4 = - a 1 2 ( - 2 P ) P 2 - 2 P a 4

P 2 - 2 P a = a 1 2 2 P P 2 - 2 P a

P 2 - 2 P a = a P

P 2 = 3 P a

a = P 3

Beleza, descobrimos o valor de a . E o de b ? Vamos jogar na equação do perímetro:

P = a + 2 b → P = P 3 + 2 b

b = P 3

Pera aí, b deu igual ao a ? Como assim, tem alguma coisa errada...

Aí que está, o resultado está certíssimo! A conclusão da questão é justamente essa:

O triângulo isósceles de maios área, dado certo perímetro, é um equilátero de lado P / 3 !

Deu um trabalhinho, mas a questão é bem maneira, po!

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Resposta

T r i â n g u l o   e q u i l á t e r o .

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