Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

4. Um terreno retangular deve ser cercado. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa R $   3,00 o metro, enquanto os outros dois restantes recebem uma cerca padrão de R $   2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R $   600,00 ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, nós temos uma questão de otimização, onde queremos encontrar a maior área para construir um cercado retangular por R $   600,00 .

Temos que a área do retângulo é dada por:

A = l 1 × l 2

Onde l 1 é o comprimento do lado reforçado com custo de R $   3,00 e l 2 é comprimento do lado de cerca padrão de R $   2,00 .

Mas ainda não podemos fazer a nossa otimização da área, precisamos deixar a fórmula em função de uma única variável.

Vamos olhar para outras informações que o enunciado nos forneceu!

Passo 2

Já para calcular o custo, precisamos somar o custo de cada lado. Então teremos dois lados l 1 que custaram R $   3,00 o metro e dois lados l 2 que custaram R $   2,00 o metro.

C u s t o = 2 l 1 × 3 r e a i s + 2 l 2 × 2 r e a i s

C u s t o = 6 l 1 + 4 l 2

Como o valor máximo é de 600   r e a i s , temos então que

600 = 6 l 1 + 4 l 2

Agora podemos deixar l 2 em função de l 1 ,

l 2 = 600 - 6 l 1 4

l 2 = 6 ( 100 - l 1 ) 4 = 3 ( 100 - l 1 ) 2

Agora podemos substituir essa relação na fórmula da área!

Passo 3

Juntando as informações encontradas nos Passos 1 e 2, ficamos com

A = l 1 × 3 100 - l 1 2 = 3 2 100   l 1 - l 1 2

Agora vamos otimizar a área, buscando a maior área. E para fazer isso vamos ter que achar o máximo global.

Então vamos achar os pontos críticos! Fazemos isso, derivando a nossa função e igualando a zero. Derivando com relação a l 1

A ' = 3 2 100 - 2 l 1

Igualando a zero,

3 2 100 - 2 l 1 = 0

100 - 2 l 1 = 0

2 l 1 = 10 0

Resolvendo essa equação temos que

l 1 = 50   m

Agora vamos achar a outra dimensão!

Passo 4

Para achar l 2 , vamos usar a formula do custo!

600 = 6 l 1 + 4 l 2

Substituindo l 1 = 50 ,

600 = 6 50 + 4 l 2

l 2 = 600 - 300 4 = 75   m

Logo, as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R $   600,00 será de 50 × 75 .

Resposta

50 × 75

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