Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Para produzir uma caixa com base quadrada são usados materiais cujos custos são os seguintes: 1 real por metro quadrado para a base, e 4 reais por metro quadrado para as laterais. Quais devem ser as dimensões da caixa, sem tampa, que suporta 1 metro cúbico de volume, que minimizam o custo da caixa?

Passo 1

Fala ai, pessoal, agora temos aqui uma questão de otimização! Vamos devorar as informações devagarinho, a primeira informação é que a base da caixa é quadrada, então se falarmos que o lado desse quadrado é denominado por x :

L a d o   d a   b a s e = x

A área de um quadrado é lado multiplicado por lado:

Á r e a   d a   b a s e = x ⋅ x = x 2

E qual é o custo do metro quadrado da base? Vale R $ 1,00 / m 2 .

Passo 2

Vamos olhar para a lateral agora. Ele não me disse que a lateral é quadrada, então vamos supor que a lateral tem uma altura y :

A l t u r a   d a   c a i x a = y

Mas como a lateral tem a mesma largura da base, então o outro lado dessa lateral é o próprio x , logo a área desse retângulo da lateral é:

Á r e a   d a   l a t e r a l = x ⋅ y

E qual é o custo do metro quadrado da lateral? Vale R $ 4,00 / m 2 .

Passo 3

Outra informação que ele nos deu é que o volume da caixa é igual a 1 m 3 , beleza, mas como calculamos o volume de uma caixa? É a área da base vezes a altura:

V o l u m e = á r e a   d a   b a s e ⋅ a l t u r a

Relembrando, a área da base que já definimos em relação a x e a altura da caixa em relação a y :

V o l u m e = x 2 ⋅ y = 1

Então podemos determinar a relação entre x e y :

y = 1 x 2

Passo 4

Vamos então montar quanto seria o custo de produzir uma caixa, que tem um fundo e quatro laterais da caixa, não esquece que não tem tampa:

C x = p r e ç o   d o   m 2   d a   b a s e ⋅ á r e a   d a   b a s e + 4 ⋅ p r e ç o   d o   m 2   d a   l a t e r a l ⋅ ( á r e a   d a   l a t e r a l )

Substituindo as informações que temos:

C x = 1 ⋅ x 2 + 4 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y

Substituindo o valor de y = 1 x 2   que encontramos:

C x = 1 ⋅ x 2 + 4 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ 1 x 2

C x = x 2 + 16 x

Uhuul, achamos a função custo!

Para minimizarmos esse custo, precisamos encontrar o ponto de mínimo para essa função C ( x ) !

Como vamos encontrar esse mínimo? Começando pela primeira derivada:

C ' x = x 2 + 16   x - 1 ' = 2 x - 16 x 2

Igualando isso a zero, encontramos o ponto crítico:

2 x - 16 x 2 = 0

2 x = 16 x 2

x 3 = 8

x = 2

Beleza, como x = 2 é um ponto crítico, temos que verificar se ele realmente é um ponto de mínimo. Para isso vamos verificar o sinal da derivada da função nos intervalos em que x < 2 e que x > 2 .

Se para x > 2 na primeira derivada resultarão em valores maiores que 0 e valores menores que 2 resultarão em valores menores que 0 na primeira derivada:

C ' 1 = 2 ⋅ 1 - 16 1 2 = 2 - 16 = - 14 < 0

C ' 3 = 2 ⋅ 3 - 16 3 2 = 6 - 16 9 = 6 - 1,8 = 4,2 > 0

Se C ' x < 0 , para x < 2 e C ' x > 0 , para x > 2 , então a função é decrescente antes de x = 2 e crescente depois desse ponto. Logo, esse é um ponto de mínimo!

Se C ' x > 0 , para x < 2 e C ' x < 0 , para x > 2 , então a função é crescente antes de x = 2 e decrescente depois desse ponto. Logo, esse é um ponto de máximo!

Nosso caso é o primeiro. Ou seja, confirmamos que se trata de um ponto de mínimo!

Passo 5

Apesar de já termos encontrado o valor de x = 2 que minimiza a função de custo, precisamos encontrar o valor das dimensões da caixa, então vamos substituir o valor de x para encontrar y :

y = 1 x 2 = 1 2 2 = 1 4

Vamos agora substituir x e y nas dimensões das caixas:

L a d o   d a   b a s e = x = 2 m

Enquanto a altura da caixa:

A l t u r a   d a   c a i x a = y = 1 4 m = 25 c m

Resposta

L a d o   d a   b a s e = 2 m

A l t u r a   d a   c a i x a = 25 c m

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