Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2012.2 - Matutino, Questão 4

Um caixa de água no formato de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero, deverá ser construída e conter 1.000   l de capacidade. Calcule as dimensões desta caixa, de modo que a área total seja mínima

Passo 1

Ok, um prisma reto cuja base é dada por triângulos equiláteros terá como área total as 3 áreas laterais e as duas áreas horizontais, uma na base e uma na “tampa”. Bom, as horizontais são dadas pela área do triângulo equilátero, que se eu considerar que tem lado l será:

A h o r . = l 2 3 4

Já a área lateral do prisma, se considerarmos uma altura h , fica assim:

A l a t . = h l

Assim, a função da área total será:

A T o t a l = 2 l 2 3 4 + 3 h l

Porém, além disso, temos um vínculo entre l e h , já que o volume é de 1000 l independente de qualquer variável. Como o volume de um prisma é dado pela base vezes a altura, ficamos assim:

V = l 2 3 4 h = 1000

Isolando h e mantendo só o l na equação da área ficaremos assim:

h = 4000 3 l 2 → A T o t a l = 2 l 2 3 4 + 3 4000 3 l 2 l

A T o t a l = l 2 3 2 + 3 4000 l

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tendo a função que queremos otimizar basta derivar e igualar a 0 para achar o ponto ótimo da função:

A T o t a l ' l = 2 l 3 2 - 3 4000 l 2 = 0

l 3 = 3 4000 l 2

l 3 = 4000

l = 10 4 3   d m

A outra dimensão será:

h = 4000 3 10 4 3 2 = 4 3 1000 3 100

= 10 4 3 3 d m

Lembrando que d m 3 = l , por isso nossa resposta está nessa unidade. Em metros, nossa resposta será:

l = 4 3   m   ; h = 4 3 3   m

Resposta

l = 4 3   m   ; h = 4 3 3   m

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas