Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Quais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r ?

Passo 1

Observe a figura abaixo, que representa a situação descrita no enunciado.

Chamaremos a altura do retângulo de b , o comprimento do retângulo de a e o raio do semicírculo de r . Queremos as dimensões do retângulo inscrito de maior área possível. A área de um retângulo pode ser calculada pela fórmula

A r e t a n g u l o = a b

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Passo 2

Precisamos de uma relação entre as variáveis do retângulo e o raio do semicírculo. Essa relação pode ser obtida olhando a figura, em que temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio do semicírculo, a altura é b e a base é a 2 . Por Pitágoras temos

r 2 = a 2 4 + b ²

4 r 2 = a 2 + 4 b ²

Isolando a para que fique em função de r temos:

a = 4 ( r 2 - b 2 )

Substituindo a na equação da área temos o seguinte:

A r e t a n g u l o = 4 ( r 2 - b 2 ) . b

Passo 3

Agora que possuímos a equação da área em função de uma das variáveis do retângulo e do raio do semicírculo, podemos encontrar seu valor máximo, derivando em função de b , achando seus pontos críticos e encontrando o máximo. Mãos à obra.

A ' r e t a n g u l o = 4 ( r 2 - b 2 ) + b - 8 b 2 4 ( r 2 - b 2 )

A ' r e t a n g u l o = 4 ( r 2 - b 2 ) - 4 b ² 4 ( r 2 - b 2 )

A ' r e t a n g u l o = 4 r 2 - b 2 - 4 b ² 4 ( r 2 - b 2 )

Os pontos críticos são obtidos igualando a derivada a zero. Então temos:

A ' r e t a n g u l o = 0

4 r 2 - b 2 - 4 b ² 4 ( r 2 - b 2 ) = 0

4 r 2 - b 2 - 4 b ² = 0

4 r ² - 8 b ² = 0

8 b ² = 4 r ²

b = r 2

Passo 4

Beleza, encontramos o ponto crítico b = r 2 . Agora temos que provar que ele é um máximo. Vamos usar o teste da primeira derivada para saber se ele é de fato um máximo. Temos que analisar o sinal da derivada perto de b = r 2 .

  • Antes de b = r 2 : A ' r e t a n g u l o > 0
  • Depois de b = r 2 : A ' r e t a n g u l o < 0  

Como a derivada é positiva antes de b = r 2 e negativa após esse ponto, podemos afirmar que ele é um máximo local.

Passo 5

Agora só precisamos achar o valor de a quando b = r 2 e teremos as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito no semicírculo. Vamos substituir b = r 2 em

4 r 2 = a 2 + 4 b ²

Então

4 r 2 = a 2 + 4 r 2 2

4 r 2 = a 2 + 4 r 2 2

a 2 = 4 r 2 - 2 r ²

a 2 = 2 r ²

a = r 2

Lembrando que podemos escrever

b = r 2

Como

b = r 2 2

Resposta

a   ( b a s e ) = r 2

b ( a l t u r a ) = r 2 2

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