Quais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio ?
Passo 1
Observe a figura abaixo, que representa a situação descrita no enunciado.
Chamaremos a altura do retângulo de , o comprimento do retângulo de e o raio do semicírculo de . Queremos as dimensões do retângulo inscrito de maior área possível. A área de um retângulo pode ser calculada pela fórmula
Passo 2
Precisamos de uma relação entre as variáveis do retângulo e o raio do semicírculo. Essa relação pode ser obtida olhando a figura, em que temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio do semicírculo, a altura é e a base é . Por Pitágoras temos
Isolando para que fique em função de temos:
Substituindo na equação da área temos o seguinte:
Passo 3
Agora que possuímos a equação da área em função de uma das variáveis do retângulo e do raio do semicírculo, podemos encontrar seu valor máximo, derivando em função de , achando seus pontos críticos e encontrando o máximo. Mãos à obra.
Os pontos críticos são obtidos igualando a derivada a zero. Então temos:
Passo 4
Beleza, encontramos o ponto crítico . Agora temos que provar que ele é um máximo. Vamos usar o teste da primeira derivada para saber se ele é de fato um máximo. Temos que analisar o sinal da derivada perto de .
- Antes de :
- Depois de :
Como a derivada é positiva antes de e negativa após esse ponto, podemos afirmar que ele é um máximo local.
Passo 5
Agora só precisamos achar o valor de quando e teremos as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito no semicírculo. Vamos substituir em
Então
Lembrando que podemos escrever
Como
Resposta
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