Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo, cujo diâmetro é igual à largura do retângulo. Suponha que o perímetro da janela normanda é de 4 m .

  1. Escreva a área da janela como função da altura do retângulo correspondente.
  2. Aplicando os métodos do cálculo diferencial na função do item (a), ache as dimensões da janela com maior área possível, assim como a área desta janela.

Passo 1

(a)

Vamos começar esboçando essa tal de janela normanda e atribuindo variáveis pras quantidades do problema:

Chamei a altura do retângulo de h e o raio do semicírculo de r , beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A questão pediu a área da janela, que nada mais é que a área do retângulo mais a área do semicírculo.

Ou seja, chamando a área da janela de A , temos:

A = A r e t â n g u l o + A s e m i c í r c u l o = 2 r h + π r 2 2

Passo 3

Mas ela quer a área só em função da altura, então precisamos sumir com esse raio!

A informação crucial que o enunciado deu foi que o perímetro da janela é 4 m .

Pela figura, podemos ver que isso vai dar

2 r + h + c o m p r i m e n t o   d o   s e m i c í r c u l o + h = 4

E o comprimento do semicírculo é simplesmente π r . Logo,

2 r + 2 h + π r = 4

r 2 + π = 4 - 2 h = 2 2 - h

⇒ r = 2 2 - h 2 + π

Passo 4

Ótimo! A gente tinha achado

A = 2 r h + π r 2 2

Então nossa área em função só da altura vai ser:

A h = 2 h . 2 2 - h 2 + π + π 2 2 2 - h 2 + π 2

Passo 5

Vamos só dar uma arrumada nisso aí:

A h = 2 h . 2 2 - h 2 + π + π 2 2 2 - h 2 + π 2

A h = 8 h - 4 h 2 2 + π + 4 π 2 - h 2 2 2 + π 2

Botando tudo no mesmo denominador 2 + π 2 :

A h = 8 h - 4 h 2 2 + π 2 + π 2 + 2 π 4 - 4 h + h 2 2 + π 2

A h = 16 h + 8 h π - 8 h 2 - 4 h 2 π + 8 π - 8 h π + 2 π h 2 2 + π 2

O + 8 π h vai cortar com - 8 h π , daí fica:

A h = 16 h - 2 h 2 π - 8 h 2 + 8 π 2 + π 2

A h = 16 h - 2 π + 8 h 2 + 8 π 2 + π 2

Botando 2 em evidência:

A h = 2 2 + π 2 8 h - π + 4 h 2 + 4 π

Deu pra ver que essas contas foram bem chatinhas né... As chances de errar são imensas, então é bom ficar ligado! ;)

Passo 6

Pra fechar de vez a letra (a), vamos só definir o domínio dessa função área (acho que não teria problema botar na letra (b), mas o ideal mesmo é fazer isso ainda na letra (a)).

Primeiramente, devemos ter h ≥ 0 né, porque um retângulo não pode ter altura negativa.

Também temos a restrição que o perímetro da janela é 4 :

2 r + 2 h + π r = 4

Admitindo que r = 0 , que seria o menor raio possível, isso ficaria:

2 h = 4 ⇒ h = 2

Então essa é a altura máxima do retângulo. (Obs.: se h = 2 ⇔ r = 0 então a janela tem área igual a zero.)

Portanto, temos que

0 ≤ h ≤ 2

O domínio da função A h é o intervalo 0 ,   2 .

Passo 7

(b)

Agora queremos a maior janela possível.

Então vamos, como sempre, derivar e igualar a zero. Lembrando que:

A h = 2 2 + π 2 8 h - π + 4 h 2 + 4 π

Derivando:

A ' h = 2 2 + π 2 8 - π + 4 2 h

Pra isso dar zero, devemos ter:

8 - π + 4 2 h = 0

2 h π + 4 = 8

⇒ h = 4 π + 4

Esse é o único ponto crítico da função.

Passo 8

O valor da área nesse ponto é

A 4 π + 4 = 2 2 + π 2 8 4 π + 4 - π + 4 4 π + 4 2 + 4 π

A 4 π + 4 = 2 2 + π 2 32 π + 4 - 16 π + 4 + 4 π

A 4 π + 4 = 2 2 + π 2 16 π + 4 + 4 π

Não tá errado não, é esse valor feião mesmo.

Passo 9

Mas antes de afirmar que essa área é a maior possível, temos que conferir também as fronteiras do intervalo: h = 0 e h = 2 .

A 0 = 2 2 + π 2 8 . 0 - π + 4 0 2 + 4 π

⇒ A 0 = 8 π 2 + π 2

A 2 nós vimos lá atrás que vai dar zero (é intuitivo ver pela figura), mas também não custa conferir:

A 2 = 2 2 + π 2 8 . 2 - π + 4 2 2 + 4 π

A 2 = 2 2 + π 2 16 - 4 π + 16 + 4 π

⇒ A 2 = 0

Ok, confirmado.

Passo 10

Então nos restaram 2 candidatos:

h = 0 ↔ A 0 = 8 π 2 + π 2

h = 4 π + 4 ↔ A 4 π + 4 = 2 2 + π 2 16 π + 4 + 4 π

Agora fica aquela dúvida, qual valor é maior?

8 π 2 + π 2     o u     2 2 + π 2 16 π + 4 + 4 π ? ?

Relaxa que tudo vai dar certo... Repara aqui comigo:

16 π + 4 + 4 π = 4 4 π + 4 + π

Então:

2 2 + π 2 16 π + 4 + 4 π = 8 2 + π 2 4 π + 4 + π

Beleza? Isso é ótimo, porque assim os valores que queremos comparar são:

8 2 + π 2 ↔ 8 2 + π 2 4 π + 4 + π

Temos que

4 π + 4 + π ≈ 4 3 + 4 + 3 = 4 7 + 3 > 1

Ou seja:

8 2 + π 2 4 π + 4 + π > 8 2 + π 2

Show!! Daí concluímos que a altura do maior retângulo é

h = 4 4 + π

E a área desse retângulo é

8 2 + π 2 4 π + 4 + π

Passo 11

Antes de sair comemorando, tem o detalhe que ele pediu as dimensões, ou seja, também temos que informar o valor do raio:

r = 2 2 - h 2 + π = 2 2 + π 2 - 4 4 + π

Depois desse trabalhão todo, dá vontade de deixar assim mesmo, mas vamos manter a calma (e a classe) e simplificar esse cara:

r = 2 2 + π 2 - 4 4 + π = 2 2 + π 2 4 + π - 4 4 + π

r = 2 2 + π 4 + 2 π 4 + π = 2 2 + π 2 2 + π 4 + π

Cortando o 2 + π em cima e embaixo:

r = 2.2 4 + π = 4 4 + π

AGORA SIM! PODE SOLTAR O GRITO!

Resposta

(a)

A h = 2 2 + π 2 8 h - π + 4 h 2 + 4 π ,     h ∈ 0 ,   2

(b)

Dimensões:

h = r = 4 π + 4

Área máxima:

8 2 + π 2 4 π + 4 + π

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