Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp – 308-27

Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado L se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.

Passo 1

Claramente é um problema de otimização. Temos que maximizar a área de um retângulo que pode ser inscrito em um triângulo equilátero, ou seja, que possui três lados iguais.

1º Passo: Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Temos que os lados do triângulo equilátero valem L e que os lados do retângulo inscrito valem x e y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

2º Passo: Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Como relacionar L , x e y ? Vamos desenvolver um pouco mais a figura para encontrarmos uma relação através do Teorema de Pitágoras. Repare:

O triângulo formado acima do retângulo também será um triângulo equilátero, já que seus ângulos são de 60 ° . Portanto, repare que o triângulo formado pelas três bolinhas azuis na figura é um triângulo retângulo e, por isso, podemos aplicar Pitágoras:

L - x 2 = y 2 + L - x 2 2

L - x 2 - L - x 2 4 = y 2

L - x 2 1 - 1 4 = y 2

3 4 L - x 2 = y 2

y = 3 L - x 2

Essa é a relação entre y e x . Lembrando que L é um dado do problema. Ou seja, é como se o enunciado tivesse dado quanto vale o lado do triângulo equilátero. L ou um número dá no mesmo. O nosso resultado ficará em função de L . A área do retângulo é:

A = x ⋅ y

Passo 3

3º Passo: Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Queremos maximizar a função área A :

A = x . y

E sabemos que:

y = 3 L - x 2

Substituindo:

A = x ⋅ 3 L - x 2 = 3 L ⋅ x - x 2 2

Passo 4

4º Passo: Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

d A d x = 3 2 L - 3 x = 0

x = L 2

y = 3 L - L 2 2 = 3 4 L

Como é um polinômio, a derivada sempre existirá

Passo 5

5º Passo: Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Vamos analisar a função:

d A d x = 3 2 L - 3 x

Usando o teste da primeira derivada, podemos ver que A ' > 0 para todo x < L 2 e A ' < 0 para todo x > L 2 . Portanto, x = L 2 é realmente um ponto de máximo global.

Nem precisamos dos outros passos, já mostramos que é global.

Resposta

As dimensões são L 2 e 3 4 L .

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