Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Se 1.200   c m 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

(a) 4000   c m 3

(b) 3500   c m 3

(c) Nenhume das alternativas

(d) 5000   c m 3

(e) 4500   c m 3

Passo 1

Essa é uma questão de otimização. Nesse tipo de situação, o primeiro passo é escrever a restrição.

Nesse caso, a restrição é que só temos 1200 c m 2 de material, ou seja, a área total da caixa não pode passar disso.

Como podemos escrever uma equação para a área total da caixa? Bom, se ela tem base quadrada, a área vai depender só de dois parâmetros: o lado l da base, e a altura h da caixa:

A = l 2 + 4 l h = 1200

Nessa fórmula somamos a área da base à área de quatro retângulos de lados l e h .

Beleza, temos nossa restrição.

Passo 2

Agora o segundo passo é escrever a função a ser otimizada usando as mesmas variáveis.

Nesse caso, estamos interessados no volume da caixa:

V = A b h = l 2 h

Nosso objetivo aqui é maximizar essa função. Como é difícil fazer isso com duas variáveis, vamos substituir uma delas usando a restrição lá de cima:

l 2 + 4 l h = 1200

h = 1200 - l 2 4 l

E substituindo isso na função do volume:

V = l 2 h = l 2 1200 - l 2 4 l = 1200 l - l 3 4

Passo 3

Beleza, agora que temos a função a ser maximizada em termos de uma variável só. Podemos partir para a derivada, queremos achar os pontos críticos dessa função:

d V d l = 0

d d l 1200 l - l 3 4 = 0

1200 - 3 l 2 = 0

l 2 = 400

l = 20   c m

Para garantir que isso é um ponto de máximo, precisamos verificar que a derivada segunda é negativa quando l = 20   c m .

d 2 V d l 2 = d d l 1200 - 3 l 2 4 = - 3 l 2

Que é, de fato, negativo quando l = 20   c m .

Passo 4

Ok, agora é só acharmos o valor de h que acompanha esse l e depois calcular o volume!

h = 1200 - l 2 4 l = 1200 - 20 2 4 ( 20 ) = 10   c m

E então o volume é:

V = l 2 h = 20 2 10 = 4000   c m 3

Resposta

Letra (a).

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