Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

3. Considere a família de todos os triângulos retângulos como na figura abaixo. Um vértice do triângulo é a origem do plano e a hipotenusa é o segmento de reta tangente ao gráfico da função f x = 1 x .

a) Existe um triângulo com área máxima? Justifique sua resposta.

b) Encontre o comprimento da menor hipotenusa desta família de retângulos. Justifique sua resposta.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Embora o enunciado diga que nos deu uma figura, ele não forneceu para a gente como é essa família de triângulos. Mas ele deu uma informação importante com qual podemos desenhar.

Ele disse que a hipotenusa é o segmento de reta tangente ao gráfico da função f x = 1 x . Desenhando f x , ficamos com

A nossa função esta em verde e a nossa reta tangete está em vermelho. Repara que ela forma um triangula retângulo com os eixos.

Passo 2

  1. Primeiro temos que verificar se existe um triângulo com área máxima. Ou seja, temos que fazer uma otimização para encontrar a maior área.
  2. A área do triangulo é dada por

    A = b . h 2

    Onde, b é minha base que será dada pelo meu eixo x e h é a minha altura que será dada pelo eixo y .

    Para otimizar essa função precisamos estabelecer uma relação entre a base e a altura e vamos fazer isso pela reta tangente (que é a nossa hipotenusa).

    Passo 3

    Para encontrarmos a reta tangente de uma função utilizamos a seguinte formula:

    f x - f ( x 0 )   = f ' x 0 x - x 0

    Temos que f x = 1 x . Logo sua derivada será f ' x = - 1 x 2 . Substituindo na equação temos:

    f x - 1 x 0 = - 1 x 0 2 x - x 0

    Ajeitando

    f x = - x x 0 2 + x 0 x 0 2 + 1 x 0

    Encontramos a equação da reta tangente. Uhuuul!!

    f x = - x x 0 2 + 2 x 0

    Onde x 0 é o ponto cuja a reta tangente corta.

    Passo 4

    Agora que temos a função da reta tangente, vamos calcular a área do triângulo. Pra isso, vamos calcular a altura e a base.

    A altura vai ser o ponto em que a reta cruza o eixo y , ou seja, vai ser o valor da função no ponto 0 , h . Então se a gente substituir x = 0 , vamos achar h .

    y = - 0 x 0 2 + 2 x 0 = 2 x 0

    h = 2 x 0

    Já a base do triângulo é o valor de x , quando a reta cruza o eixo x . Então é ponto ( b , 0 ) , quando y = 0 .

    0 = - x x 0 2 + 2 x 0

    b = 2 x 0

    Note que isso vai valer pra qualquer triângulo, pois não definimos nada que especifique qual é a reta tangente. Com isso, a área do triangulo sempre será

    A = 2 x 0 2 x 0 2 = 2

    Olha só, é um valor constante! Como os termos x 0 se cancelaram, isso significa que a área não depende do ponto que a reta tangente toca a curva.

    Concluimos então que não há uma área máxima.

    Passo 5

  3. Agora temos que achar o comprimento da menor hipotenusa desta família de retângulos. Para isso, vamos usar a relação que diz que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

H 2 = b 2 + h 2

Como na letra a vimos que a base e a altura serão sempre será b = 2 x 0   e h = 2 x 0 . Então fica assim,

H 2 = 2 x 0 2 + 2 x 0 2

H 2 = 4 x 0 2 + 4 x 0 2

Para achar o menor comprimento, vamos otimizar essa formula e a gente faz isso achando os pontos críticos. Pra achar os pontos críticos, vamos derivar e igualar a zero.

( H 2 ) ' = 8 x 0 - 8 x 0 3 = 0  

Resolvendo pra x 0

x 0 = 1

Repara que se a gente minimizar o quadrado da hipotenusa H 2 , a gente automaticamente minimizaa hipotenusa ne.

Substituindo x 0 na fórmula da hipotenusa ficamos com

H 2 = 2 ( 1 ) 2 + 2 1 2

H 2 = 4

H = 2

Resposta

  1. Não há máximo.
  2. H = 2

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