Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral I, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 13

Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área?

(a) 400 por 1200

(b) 600 por 1000

(c) 600 por 400

(d) 600 por 1200

(e) 600 por 2000

Passo 1

Vamos supor que as dimensões de um campo sejam representadas por um ponto ( x , y ) .

Se o campo é retangular, a quantidade de cerca ( Q ) usada para cercá-lo completamente é igual ao perímetro do retângulo, menos o lado em que temos o rio, vamos supor que seja na coordenada x (não faz diferença).

Q = 2 x + 2 y - x

2400 = x + 2 y

x + 2 y = 2400

E o que queremos fazer é maximizar a área de um campo que segue essa condição.

A área desse campo é:

A x , y = x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Maximizar essa função é difícil quando temos duas variáveis, então vamos usar a primeira equação para simplificar nossa vida:

y = 1200 - x 2

Então:

A = x 1200 - x 2 = 1200 x - x 2 2

Agora sim, podemos maximizar essa função. Para isso precisamos começar encontrando os pontos críticos:

d A d x = d d x 1200 x - x 2 2 = 0

1200 - x = 0

x = 1200

E para conferir que esse ponto é um máximo, a derivada segunda precisa ser negativa nesse ponto:

d 2 A d x 2 = d d x 1200 - x = - 1

Ok, então a área é maximiza (considerando a restrição), quando x = 1200 .

Passo 3

Agora que temos o ponto x , podemos calcular o y :

x + 2 y = 2400

1200 + 2 y = 2400

y = 600

Então o nosso ponto tem coordenadas ( 1200   ,   600 ) .

Resposta

Letra (d).

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