Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio R . Calcule o volume desse cone.

Passo 1

Observe a figura abaixo, que representa a situação descrita no enunciado.

Chamaremos a altura do cone de h e o raio de r . Queremos as dimensões do cone inscrito de maior volume, que pode ser calculado pela fórmula

V c o n e = 1 3 π r 2 h

Passo 2

Precisamos de uma relação entre as variáveis do cone e o raio da esfera. Essa relação pode ser obtida olhando a figura acima, em que temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio da esfera. Por Pitágoras temos

R 2 = h - R 2 + r ²

R 2 = h 2 - 2 R h + R 2 + r ²

0 = h 2 - 2 R h + r ²

Portanto

r 2 = 2 R h - h ²

Substituindo r ² na equação do volume temos o seguinte

V c o n e = 1 3 π 2 R h - h 2 h = π 3 2 R h ² - h 3

Passo 3

Agora que possuímos a equação do volume em função de uma das variáveis do cone e do raio da esfera, podemos encontrar seu valor máximo, derivando em função de h , achando seus pontos críticos e encontrando o máximo. Mãos à obra.

V ' c o n e = π 3 4 R h - 3 h 2

Os pontos críticos são obtidos igualando a derivada a zero. Então temos:

V ' c o n e = 0

π 3 4 R h - 3 h 2 = 0

h 4 R - 3 h = 0

4 R - 3 h = 0

h = 4 R 3

Passo 4

Show, encontramos como ponto crítico h = 4 R 3 . Mas crítico mesmo é esse momento agora hahah. O que fazer com o ponto encontrado??? Bom, temos que provar que ele é um máximo. Sabemos que a altura do cone está entre 0 e 2 R , que é o diâmetro da esfera. Vamos usar o teste da primeira derivada para saber se 4 R 3 é de fato um máximo. Temos que analisar o sinal da derivada perto de 4 R 3 .

Como a derivada é positiva antes de 4 R 3 e negativa após esse ponto, podemos afirmar que esse ponto é um máximo global.

Passo 5

Agora só precisamos achar o valor de r e teremos as dimensões do cone de maior volume que pode ser inscrito na esfera. Vamos substituir h = 4 R 3 em

r 2 = 2 R h - h ²

Então

r 2 = 2 R 4 R 3 - 16 R 2 9 = 8 R 2 3 - 16 R 2 9 = 24 R 2 - 16 R 2 9 = 8 R 2 9

r 2 = 8 R 2 9

r = 2 2 3 R

E finalmente podemos calcular o volume máximo do cone inscrito.

V c o n e = π 3 2 2 3 R 2 . 4 R 3 = 1 3 . 8 R 2 9 . 4 R 3 = 32 π R 3 81

Resposta

h = 4 R 3

r = 2 2 3 R

V c o n e = 32 π R 3 81

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