Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

Dentre todos os retângulos do plano R 2 com centro na origem, lados paralelos aos eixos coordenados e inscritos na elipse

x 2 9 + y 2 16 = 1   ,

determine aquele de maior perímetro.

Passo 1

O elipse vai ficar algo assim, considerando os pontos onde toca os eixos:

Centrando um retângulo na origem que toque simetricamente em 4 pontos da elipse, ficaria algo assim:

Assim, por simetria, é como se o perímetro fosse 4 vezes o a soma dos lados do retângulo do primeiro quadrante, que tem base valendo x e altura valendo y , ou seja:

2 P x , y = 4 x + y

Porém, como o ponto pertence à elipse, temos que y pode ser dado em função de x :

x 2 9 + y 2 16 = 1 → y = 4 1 - x 2 9

2 P x = 4 x + 4 1 - x 2 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos derivar a área em função de x e igualar a 0 para otimizar a função:

2 P ' x = 4 x + 4 1 - x 2 9 ' = 0

1 + 4 1 - x 2 9 ' 2 1 - x 2 9 = 0

4 2 x 9 2 1 - x 2 9 = 1

4 x 9 = 1 - x 2 9

16 x 2 81 = 1 - 9 x 2 81 → 25 x 2 81 = 1

x = ± 9 5

Como estávamos trabalhando inicialmente no primeiro quadrante, o x que otimiza a função é x = 9 5 .

Passo 3

Para garantir que esse é um ponto de máximo, basta resolver a mesma equação acima, só que colocando 2 P ' x > 0 e < 0 no lugar do = 0 . Notaremos que a derivada é positiva antes de 9 5 e negativa depois, o que significa que esse é um ponto de máximo!!

Assim, o maior retângulo centrado na origem e com seus vértices na elipse é aquele de lados:

B a s e :   2 x = 2 9 5 = 18 5   u . m .

A l t u r a : 2 y = 2 4 1 - 9 5 2 9 = 32 5   u . m .

Resposta

O   r e t â n g u l o   d e   l a d o s 18 5   e 32 5

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