Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

USP, Cálculo 1, P2 - 2016, Questão ME4

Considere todos os triângulos retângulos formados pelos semieixos positivos e por uma reta que passa pelo ponto (2,3). Dentre todos os triângulos possíveis, aquele que possui área mínima tem a hipotenusa valendo:

Passo 1

A área do retângulo será:

A = b h 2 = x y 2

Precisamos achar a relação entre x e y que, por semelhança e triângulos será:

y - 3 2 = 3 x - 2

Logo:

y = 6 x - 2 + 3

Com isso, a área será:

A = 1 2 6 x x - 2 + 3 x

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Passo 2

Para achar o máximo, precisamos encontrar os pontos críticos que ficam onde a derivada é zero ou não existe. Então vamos derivar essa sabedoria. Usando a regra da fração:

A ' = 1 2 3   + x - 2 ⋅ 6 - 6 x x - 2 ' x - 2 2   →

A ' = 1 2 3   + 6 x - 12 - 6 x x - 2 2   →

A ' = 1 2 3 - 12 x - 2 2   →

A derivada não existirá em x = 2 que será um ponto crítico. Porém, olhe a figura e veja que nesse ponto a inclinação é infinita e área também o será, logo, esse não é ponto que você está procurando!

Zeros também serão pontos críticos e ocorrerão quando:

A ' = 0               →                     1 2 3 - 12 x - 2 2 = 0               →

3 - 12 x - 2 2 = 0   →

- 12 x - 2 2 = - 3     →

Multiplicando por -1 dos dois lados...

12 x - 2 2 = 3     →

12 3 = x - 2 2     →             x - 2 2   = 4

x - 2 2 = ± 4     →         x - 2 = ± 2

Então x 1 = + 2 + 2 = 4 e x 2 = - 2 + 2 = 0 .

Zero não é legal, pois leva a área 0 . Resta-nos x = 4 .

Como a questão é de multiplica escolha, não tem porque perder tempo provando que esse é um ponto de mínimo. Como descartamos todos os outros, podemos adotar esse sem medo.

Passo 3

Nesse ponto, y vale:

y = 6 4 - 2 + 3 = 6

Como y e x são catetos, a hipotenusa será:

h = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52

Resposta

h = 52

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