Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Calculo 1 – UFPE – 2° EE

Considere a parábola y = x 2 .

  1. Encontre uma expressão para a distância de um ponto x , x 2 pertencente à parábola até o ponto 0 , 9 2 .
  2. Determine o(s) ponto(s) da parábola no(s) qual(is) a distância ao ponto 0 , 9 2 seja mínima.

Passo 1

Bom, as coordenadas dos dois pontos já foram dados. Um ponto pertence a parábola se e somente se ele possui a seguinte coordenada: x , x 2 . Basta agora fazermos a distância deste ponto até o ponto 0 , 9 2 .

Para calcularmos a distância, basta tirarmos as raízes da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas. Eita! Parece bem complicado ao escrevermos! Vamos montar a função, o que deixa tudo mais simples.

Portanto,

d x = x - 0 2 + x 2 - 9 2 2 = x 4 - 8 x 2 + 81 4

Pronto, esta é a função distância.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos facilitar a nossa vida. Minimizar a função distância d x nos vai fornecer os mesmos pontos que minimizar a função distância ao quadrado, isto é:

f x = d x 2 = x 4 - 8 x 2 + 81 4

Se minimizarmos a função f x , obteremos os mesmos pontos de mínimo global. Para verificarmos estes pontos de mínimo, vamos derivar a nossa função, obter os pontos críticos e analisar o diagrama de crescimento/decrescimento da função.

Portanto, vamos para as nossas contas. Derivando a função, temos:

f ' x = 4 x 3 - 16 x = 4 x x 2 - 4 = 4 x x - 2 x + 2

A nossa função possui pontos críticos em x = 0 , x = - 2 e x = 2 .

Para analisarmos o intervalo de crescimento e decrescimento, fica mais fácil montarmos uma tabela e analisar o sinal separadamente de cada um dos termos que compõem a nossa f ' ( x ) . Depois, é só fazer o produto destes sinais.

Se fizermos isto, teremos a seguinte tabela:

Pelo teste da primeira derivada, sabemos que os pontos de mínimo relativo são x = - 2 e x = 2 . Calculando os valores da função nestes pontos temos: f - 2 = f 2 = 17 / 4 . Como a função é decrescente para - ∞ < x < - 2 e crescente para 2 < x < ∞ , temos então que os pontos x = - 2 e x = 2 são pontos de mínimo global.

Logo, a distância da parábola ao ponto 0 , 9 2 é mínima para x = ± 2 .

Resposta

  1. A função distância é:
  2. d x = x 4 - 8 x 2 + 81 4

  3. A distância é mínima para x = ± 2 .

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