Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Elaboração Própria

Uma cerca de 2   m de altura corre paralela a um edifício alto a uma distância de 1   m do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio por cima da cerca?

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Ok, primeira coisa que temos que notar é que a análise desse problema começa por um corte perpendicular à extensão da cerca. Imagina como se eu tivesse olhando para cerca e para o edifício no sentido em que eles correm, como isso aqui, ó:

Beleza, a partir daqui já aparece um triângulo e umas distâncias relevantes para o nosso problema. Só para esclarecer tudo, a distância mínima dessa escada tem que, necessariamente, estar tocando ali no pico do arame, já que é o ponto no qual ele mais se “aproxima” do chão e da parede.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

O cara quer o tamanho mínimo da escada, ou seja, precisamos descrever a escada de através de alguma equação. Bom, imagina que eu chamo a distância do ponto onde ela toca o edifício de h e a distância do ponto onde ela toca o chão de b . Bom, por Pitágoras, eu poderia dizer que o comprimento E da escada é:

E = h 2 + b 2

Tá maneiro, e como eu chego aos valores de h e de b ? Nesse desenho aqui eu chamei de x a distância do ponto onde a escada toca o chão até a cerca. Marquei também as distâncias que o problema me deu:

Repara, por aqui, eu tenho:

b = x + 1

E posso matar essa altura por semelhança de triângulos, certo?

2 x = h x + 1

h = 2 x + 2 x = 2 + 2 x

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Jogando na equação do E ( x ) :

E x = h 2 + b 2 = 2 + 2 x 2 + ( x + 1 ) 2

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Vamos derivar E ( x ) agora, e o negócio fica assim:

E ' ( x ) = 2 + 2 x 2 + 2 x ' + x + 1 x + 1 ' 2 + 2 x 2 + x + 1 2 = 2 + 2 x ( - 2 x 2 ) + x + 1 2 + 2 x 2 + x + 1 2

Ok, como o denominador é uma raiz da soma de quadrados, será sempre positivo. Então podemos zerar só a parte de cima e ver no que vai dar:

2 + 2 x - 2 x 2 + x + 1 = 0

- 4 x 2 - 4 x 3 + x + 1 = 0

Multiplicamos tudo por x 3 e dei uma ajeitada:

x 4 + x 3 - 4 x - 4 = 0

x 3 x + 1 - 4 x + 1 = 0

x 3 - 4 x + 1 = 0

Assim, os valores de x são:

x = - 1

x = 4 3

Como x não pode ser negativo, o ponto crítico é

x = 4 3

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Para provar que esse é ponto de mínimo, olhamos para o sinal de E ' ( x ) antes e depois do ponto. Ora, lembrando que a parte do denominador é sempre positiva, vou fazer a análise de sinal de

x 3 - 4 x + 1 = 0

Essa parte corresponde ao numerador, e posso afirmar que x 3 - 4 é maior que 0 quando x > 4 3 e ( x + 1 ) é maior enquanto x > - 1 . Fazendo um quadro de sinais:

Olhando para os valores próximos a 4 3 , a derivada é negativa antes e positiva depois, caracterizando um ponto de mínimo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não temos outros pontos críticos a considerar aqui.

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo 6 e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

Uma da função é a escada encostada na cerca x = 0 . Nesse ponto, a escada não vai encostar no prédio, então desconsideramos.

A outra fronteira é com a escada apoiada no topo da cerca, onde x . Nessas condições, o comprimento da escada também tenderá a infinito.

Dessa maneira, o ponto crítico que encontramos é o ponto de mínimo global.

Para finalizar, temos que descobrir a E 4 3 , sendo esse o menor comprimento da escada:

E 4 3 = 2 + 2 4 3 2 + ( 4 3 + 1 ) 2 = 2 + 2 3 2 + ( 4 3 + 1 ) 2

E 4 3 = 5 + 6 2 3 + 3 4 3

Eu sei, resultado feio que dói, dá até nojo chegar num negócio assim. Mas Cálculo não é coisa de moleque, tem que ter peito e responsa para chegar nisso aqui e confiar.

Resposta

E 4 3 = 5 + 6 2 3 + 3 4 3

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