Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

( a ) Na figura abaixo, r e s são retas paralelas, a distância entre elas é 2 , C é um ponto fixo de s , A e B são pontos fixos de r e a distância entre eles é 1 . É possível encontrar um ponto D na reta s , de modo que o segmento B D intercepte A C e que a soma das áreas dos triângulos sombreados na figura seja mínima? E máxima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, encontre a altura h do triângulo A B P .

Passo 1

Seguindo os nomes que ele nos deu ali, podemos chamar a altura do triângulo de baixo de h e sua base de 1 . A altura do outro triângulo será a diferença entre a distância entre as retas e h , ou seja, 2 - h . Podemos chamar a base do triângulo de cima de b . Ora, teríamos a seguinte fórmula para a soma das áreas:

A = h 1 2 + 2 - h x 2

Porém, nessa situação temos duas variáveis na equação, h e x . Ora, como vincular x e h ?

Estamos trabalhando com retas paralelas! Isso significa que se uma terceira reta as corta, os ângulos formados com cada uma das duas retas paralelas será igual. Concluímos que o ângulo B ^ e o ângulo D ^ são iguais, bem como A ^ e C ^ tem o mesmo valor. Os triângulos, portanto, são semelhantes! Assim, as alturas e as bases deles mantêm a mesma proporção:

h 1 = 2 - h x

x = 2 - h h

A = h 2 + 4 - 4 h + h 2 2 h

A = h 2 + 2 h - 2 + h 2

A h = h + 2 h - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora derivar o termo e igualar a 0 :

A ' h = 1 - 2 h 2 = 0

h 2 = 2 → h = ± 2

Como h não pode ser negativo, o nosso único ponto crítico é h = 2 . Para determinar se é um ponto de máximo ou mínimo devemos analisar o sinal da derivada antes e depois desse valor de h . Ora, A ' ( h ) é negativo em ] - 2 , 2 [ , não sendo ela definida em h = 0 , e positivo no resto do domínio. Com isso concluímos que h = 2 será um ponto de mínimo.

Enfim, resumo da história: temos um mínimo para a soma das áreas em h = 2 ; não há pontos de máximo.

Resposta

m í n i m o   e m   h = 2 ;   n ã o   h á   p o n t o s   d e   m á x i m o .

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