Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2015.2, Questão 1

Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre a maior área de superfície possível para esse cilindro.

Passo 1

Ih jovem, o enunciado é curtinho mas essa questão tem cara que vai dar um trabalhão. Enfim, não adianta chorar, mãos à obra!

Vamos começar desenhando a situação e dando nome aos bois (no caso, os bois seriam as variáveis relevantes do problema):

O raio da esfera nós sabemos que é r . Além dele, chamei o raio e altura do cilindro de x e h , respectivamente. Tranquilo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora que deu pra visualizar o problema vamos bolar nossa estratégia.

Ele quer a área lateral máxima possível pra esse cilindro (o enunciado ficou meio ambíguo, porque “área de superfície” poderia incluir a área das tampas, mas enfim, no gabarito oficial ele só fala da área lateral mesmo).

E essa área lateral é dada pelo perímetro do cilindro vezes a sua altura:

A = 2 π x . h

Então temos que maximizar essa função!

E o grande lance é que h depende diretamente de x . Isso dá pra imaginar na figura: quanto mais “gordo” o cilindro, mais baixo ele vai ser. E quanto mais fininho, mais alto na esfera ele consegue ir.

Passo 3

Agora vamos achar a relação entre h e x .

Pra isso vamos dar uma olhada na figura de frente. Assim, veremos o cilindro como se ele fosse um retângulo. E dentro desse retângulo podemos enxergar vários triângulos retângulos, que nem esse aqui embaixo, saca só:

Assim, pelo mais do que clássico Teorema de Pitágoras:

r 2 = x 2 + h 2 2

Agora é só isolar o h :

h 2 2 = r 2 - x 2

h 2 = r 2 - x 2

⇒ h = 2 r 2 - x 2

(Obs.: h é uma altura → h > 0 , então não poderíamos ter h / 2 = - r 2 - x 2 .)

Passo 4

Voltando pra expressão da área lateral:

A = 2 π x . h

Como A é uma função de x , podemos escrever A x , aí fica:

A x = 2 π x . 2 r 2 - x 2

⇒ A x = 4 π x r 2 - x 2

Ah, uma coisa que vale a pena ressaltar é que o domínio dessa função A x é 0 ,   r . Isso porque:

  • x é o raio de um cilindro, então x ≥ 0
  • o cilindro está inscrito numa esfera, então seu raio tem que ser menor que o da esfera → x ≤ r

Tudo sussa na montanha-russa? Então vamos continuar!

Passo 5

Agora fique à vontade pra esquecer esfera, esquecer cilindro e deixar isso tudo pra depois.

Caímos num problema de maximização de função, que poderia estar num Stewart da vida sem nenhum contexto geométrico. Até aqui modelamos o problema, agora é só conta!

O que queremos é maximizar a função

A x = 4 π x r 2 - x 2 ,     x ∈ 0 ,   r

Pra isso, vamos começar derivando nossa colega com a regra do produto e a regra da cadeia:

A ' x = 4 π r 2 - x 2 + x . - 2 x 2 r 2 - x 2

Usando que:

r 2 - x 2 = r 2 - x 2 r 2 - x 2

Temos:

A ' x = 4 π r 2 - x 2 r 2 - x 2 - x 2 r 2 - x 2

A ' x = 4 π r 2 - 2 x 2 r 2 - x 2

Passo 6

Beleza, agora vamos zerar essa derivada pra achar os pontos críticos:

4 π r 2 - 2 x 2 r 2 - x 2 = 0

r 2 - 2 x 2 = 0

r 2 = 2 x 2

Tanto r como x são positivos, então:

r = 2 x

⇒ x = r 2

Beleza, esse é o único ponto crítico da A x .

Passo 7

Pra classificar esse ponto crítico, basta estudar o sinal de A ' x nos intervalos 0 , r 2 e r 2 ,   r .

Pegando algum x bem próximo de 0 , temos:

2 x 2 ≈ 0

⇒ r 2 - 2 x 2 > 0

⇒ A ' x > 0

E sabemos que a derivada só se anula em r 2 , ou seja:

x ∈ 0 , r 2 ⇔ A ' x > 0

Agora vamos pegar algum x no lado oposto do intervalo, bem próximo de r . Daí vamos ter:

2 x 2 ≈ 2 r 2

⇒ r 2 - 2 x 2 < 0

⇒ A ' x < 0

Portanto:

x ∈ r 2 ,   r ⇔ A ' x < 0

Passo 8

A derivada é positiva até o ponto x = r 2 , e depois disso ela é negativa. Logo, pelo teste da primeira derivada, esse ponto é um ponto de máximo.

E como nos extremos do intervalo, x = 0 e x = r , A x vale zero, concluímos que x = r 2 é o ponto de máximo global de A x no intervalo 0 ,   r .

Passo 9

Ok, agora podemos voltar pra geometria.

Dessas contas todas aí chegamos à conclusão que o cilindro com maior área lateral possível tem raio x = r 2 .

E o valor dessa área vai ser dado pela nossa função:

A r 2 = 4 π r 2 r 2 - r 2 2

A r 2 = 4 π r 2 2 r 2 - r 2 2

A r 2 = 2 2 π r r 2 2

O 2 vai cortar, aí sobra:

A r 2 = 2 π r 2

E essa é a famosa área que tanto queríamos! ;)

Resposta

2 π r 2

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