Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

USP, Cálculo 1, P2 - 2013, Questão 4

Considere um cone circular reto de altura 14   c m e raio 5   c m . Dentre os cilindros circulares retos que podem ser inscritos nesse cone (conforme figura abaixo), determine a altura h do cilindro que tem volume máximo.

Passo 1

O volume do cilindro é dado por V C i l = π r 2 h . Temos ainda, por semelhança de triângulos da figura acima, a seguinte relação entre r e h :

14 - h r = 14 5

h = 14 1 - r 5

Assim, podemos escrever o volume em função apenas do raio r do cilindro:

V C i l = π r 2 14 1 - r 5 = 14 π r 2 - r 3 5

Derivando esse termo e igualando-o a 0 descobriremos pontos críticos:

V C i l ' r = 14 π 2 r - 3 r 2 5 = 0

2 - 3 r 5 r = 0

r = 0 ; r = 10 3

Repara que o r = 0 vai ser um ponto de mínimo, e por isso não nos interessa. Podemos provar pela derivada primeira ou pela segunda que r = 10 3 é ponto de máximo, mas podemos pensar assim também: dado que r = 0 é ponto de mínimo e nunca podemos ter graficamente dois pontos de mínimo ou de máximo seguidos, notamos que r = 10 3 é um ponto de máximo.

O Volume desse cilindro será dado assim:

V C i l = 14 π 10 3 2 - 10 3 3 5

= 14 π 100 9 - 200 27 = 1400 π 27

Agora, o que o enunciado pediu foi a altura desse cilindro. Calculamos ela pela relação que tínhamos antes:

h = 14 1 - r 5 = h = 14 1 - 2 3 = 14 3

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Resposta

h = 14 3   u n i d a d e s   d e   c o m p r i m e n t o

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