Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2014.1, Questão 2

Considere todos os retângulos inscritos na semi-elipse de equação 4 x ² + y ² = 1 , com y 0 , e que possuem um de seus lados sobre o eixo O x .

  1. Determine uma função A x que expresse a área destes retângulos, bem como seu domínio.
  2. Ache as dimensões do retângulo de maior área.

Passo 1

(a)

Bom, o primeiro passo pra matar essa questão é visualizar o problema.

Vamos começar esboçando a semi-elipse. Vejamos onde ela cruza os eixos coordenados:

x = 0 y 2 = 1 y = 1

Então ela cruza o eixo y em y = 1 (lembrando que y 0 , por isso não temos também y = - 1 ).

Já pro eixo x :

y = 0 4 x ² = 1 x ² = 1 4 x = ± 1 2

Beleza, a semi-elipse intercepta o eixo x em x = - 1 2 e x = 1 2 .

A partir disso, podemos tirar um esboço:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E ele está falando de retângulos inscritos nessa semi-elipse, com um lado sobre o eixo x .

Então vão ser todos os retângulos desse tipo:

Vamos chamar os lados desses retângulos de x e y :

Passo 3

Beleza, agora temos que relacionar essas variáveis x e y . Dá uma olhada nessa figura aqui:

Repara aqui comigo: os pontos x 2 ,   y e - x 2 ,   y estão na semi-elipse, certo? Então, usando a equação dela, vamos conseguir relacionar x e y !

Temos

4 . x 2 2 + y 2 = 1

4 x 2 4 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 1

y = 1 - x 2

Lembrando que y 0 , por isso y - 1 - x 2 .

Passo 4

Agora podemos escrever a função área!

Ela é simplesmente o produto dos lados do retângulo:

A x = x y

A x = x 1 - x 2

O enunciado também pediu o domínio da função, ou seja, todos os valores de x para os quais ela é definida.

Definimos x como sendo um dos lados do retângulo, então temos obrigatoriamente x > 0 .

E apareceu uma raiz quadrada na função, o termo dentro dela não pode ser negativo

1 - x 2 0

x 2 1

x < 1     ( j á   q u e   x > 0 )

Concluímos então que o domínio de A x é o intervalo 0 ,   1 .

Passo 5

(b)

Queremos o retângulo de maior área, então vamos calcular o máximo global de A x no intervalo 0 ,   1 .

Pelas regras do produto e da cadeia:

A ' x = 1 - x 2 + x 1 2 1 - x 2 - 2 x

A ' x = 1 - x 2 - x 2 1 - x 2

Botando tudo no mesmo denominador:

A ' x = 1 - x 2 1 - x 2 - x 2 1 - x 2

A ' x = 1 - 2 x 2 1 - x 2

Passo 6

Agora vamos igualar essa derivada a zero:

A ' x = 1 - 2 x 2 1 - x 2 = 0

Pra isso dar o zero o numerador tem que ser nulo:

1 - 2 x 2 = 0

2 x 2 = 1

x 2 = 1 2

x = 1 2       x > 0

Passo 7

Show, então a função área tem um ponto crítico em 0 ,   1 :

x = 1 2

Ainda não sabemos se ele é ponto de máximo ou mínimo. Então vamos calcular a área pra esse cara:

A 1 2 = 1 2 1 - 1 2 2 = 1 2 1 - 1 2

A 1 2 = 1 2 1 2 = 1 2

Passo 8

Pensa aqui comigo: a área dele deu 1 2 . Certamente tem retângulos com área menor né? Por exemplo, se a gente pegar um retângulo bem baixinho, com um y beeeem pequeno, tipo assim:

Esse y pode ser tão pequeno quanto a gente quiser, então sim: há (infinitos) retângulos inscritos na semi-elipse com área menor do que 1 2 .

E isso confirma que o retângulo que achamos é o de área máxima! :)

As dimensões dele são

x = 1 2

y = 1 - x 2 = 1 - 1 2 = 1 2 = 1 2

Só uma observação: como x = y , esse nosso retângulo é um quadrado.

Resposta

x = y = 1 2

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