Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

USP, Cálculo 1, P-SUB - 2015, Questão 3

Um edifício com base retangular de 2000 m 2 deve ser construído num lote com lados paralelos ao do edifício, sendo exigido recuos de 5 m na frente e no fundo, e recuos de 4 m nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor área onde esse edifício pode ser construído.

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo: a área do edifício vale 2000 m 2 , mas não sei quanto valerá cada um dos seus lados. O terreno onde será construído o prédio temos que deixar uma margem de 5 m para a frente e para o fundo. Dos lados, uma margem de 4 m . Assim, o esquema da situação pode ser esboçado assim:

Como dito, a área do edifício será o produto de suas dimensões, que eu chamei de x e y , e valerá 2000 m 2 :

x y = 2000

A função que queremos otimizar é a área total, com dimensões dadas por x + 2 4 e por y + 2 5 :

A = x + 8 y + 10

Isolando uma variável na primeira equação ficamos assim:

y = 2000 x A = x + 8 2000 x + 10

A = 2080 + 16000 x + 10 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que achamos uma equação A x podemos otimizá-la, derivando e igualando a 0 :

A ' x = - 16000 x 2 + 10 = 0

x 2 = 1600

x = ± 40 x = 40 m

Como as dimensões devem ser positivas, x = 40 m y = 2000 40 = 50 m

Com isso, observando ainda que para valores menores que x = 40 temos A ' negativo e para valores maiores ele é positivo, vemos que x = 40 consiste num ponto de mínimo!

As dimensões desse campo de área mínima serão:

x + 8 = 40 + 8 = 48

2000 x + 10 = 2000 40 + 10 = 60

Será um campo de dimensões 60 x 48 !

Resposta

D i m e n s õ e s   :   60 x 48

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