Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp – 307 – 5

Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 100   m cuja área seja a maior possível.

Passo 1

É um problema de maximização. Temos que maximizar a função área. O problema nos deu o perímetro.

Vamos seguir o passo a passo para problemas de otimização.

1º Passo: Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

2º Passo: Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

O perímetro L vai ser:

L = 2 x + 2 y = 100 → x = 50 - y

E a área:

A = x ⋅ y

Passo 3

3º Passo: Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Queremos maximizar a função área A :

A = x ⋅ y = 50 - y ⋅ y =

= 50 y - y 2

Passo 4

4º Passo: ivamos essa função e achamos os pontos críticos.

d A d y = 50 - 2 y = 0 → y = 25

x = 50 - y = 50 - 25 = 25

Passo 5

5º Passo: Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Vamos analisar a função:

A = 50 y - y 2

Repare que a função A é um polinômio de segundo grau e, portanto, é uma parábola voltada para baixo e só possui um ponto de máximo, que é o y = 25 que achamos anteriormente. Logo:

x = y = 25

A = 625   m 2

Não precisamos de outros passos aqui, pois, por ser uma parábola voltada para baixo, esse é um ponto de máximo global.

Resposta

x = y = 25

Trata-se de um quadrado de lado igual a 25 .

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