Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UNICAMP, Cálculo 1, P2 - 2019.1 - 6ª Noturno, Questão Q05

Encontre o ponto sobre a curva y = x 3 2 que está mais próximo do ponto 4,0

Passo 1

Bora lá então! A melhor forma da gente começar essa questão de enunciado beeem minimalista é tentar visualizar graficamente. A questão da curva e da ponto, então vamos fazer um esboço só pra pescar a ideia. No meu caso aqui como eu tenho uma ferramenta gráfica, vai ficar lindíssima a figura hahaha, dá uma olhada:

A distância ponto-curva nada mais é do que um segmento de reta que sai de P e toca na curva. Só que, concorda comigo, que tem infinitas formas de eu desenhar esse segmento? Não? Então olha só três dessas infinitas formas:

O que a questão pede é o menor segmento de reta dentre esses infinitos aí! Pra gente fazer isso, vamos precisar minimizar uma função distância reta-curva, que vamos chamar de d . Vamos modelar d então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, pra modelar d então, vamos pegar uma dessas retas quaisqueres possíveis. Note que eu posso chamar qualquer ponto sobre a curva de x , y já que não especifiquei as coordenadas dele:

E olha só! Se eu projetar as coordenadas desse ponto, eu desenho um triângulo!

E é aqui que entra a magia da modelagem de d ! Olha só que lindo, d é a hipotenusa desse triângulo! Ele montadinho como acima, fica tranquilo de ver que ele tem altura y e base 4 - x . Sendo assim, por Pitágoras:

4 - x 2 + y 2 = d 2

Como y = x 3 2 e d > 0 porque se trata de uma dimensão física, temos:

16 - 8 x + x 2 + x 3 2 2 = d 2

16 - 8 x + x 2 + x 3 = d 2

d x = x 3 + x 2 - 8 x + 16

Passo 3

E agora a gente parte pro cálculo mesmo. Achamos já o tamanho do segmento de reta em função da escolha x do ponto de apoio sobre a curva. Pra achar o valor de x que minimiza o tamanho d da reta a gente deriva e iguala a zero! Usando Regra da Cadeia, temos:

d ' x = x 3 + x 2 - 8 x + 16 '

d ' x = x 3 + x 2 - 8 x + 16 ' 2 x 3 + x 2 - 8 x + 16

d ' x = 3 x 2 + 2 x - 8 2 x 3 + x 2 - 8 x + 16

Como essa função só zera quando o numerador zera, temos:

3 x 2 + 2 x - 8 = 0

O que, por Bháskara, podemos reescrever para:

3 x 2 + 2 x - 8 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 1

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

E logo:

x 1,2 = - 2 ± 4 - 4 . 3 . - 8 6 = - 2 ± 4 + 96 6 = - 2 ± 100 6

x 1,2 = - 2 ± 10 6 = - 2 + 10 6 = 8 6 = 4 3 - 2 - 10 6 = - 12 6 = - 2

Sendo x 1,2 as raízes de 3 x 2 + 2 x - 8 , ou seja, os pontos que satisfazem 3 x 2 + 2 x - 8 = 0 , temos esses dois pontos como os pontos que zeram o numerador de d ' x e logo, o próprio d x . Maaaaaaas, como um desses pontos é negativo e estamos falando de grandezas físicas, o único ponto que interessa a gente é o positivo, e logo:

x = 4 3

E cabamos! A questão pediu pra encontre o ponto sobre a curva y = x 3 2 que está mais próximo do ponto 4,0 . Achamos a coordenada x desse ponto logo acima, pra achar a y basta fazer:

y = 4 3 3 2 = 2 2 3 3 = 2 6 27 = 2 3 27 = 8 27

As coordenadas serão:

4 3 , 8 27

Passo 4

Nesse último passo, vou só ser preciosista com um detalhe! O ponto que achamos pode ou pode não ser um ponto de mínimo, então é sempre bom checar! Pela natureza do nosso problema, se eu fizesse o seguinte limite, ia achar uma distância infinita.

lim x → + ∞ ⁡ d x = + ∞

Ou se fizesse o limite pra zero, ia achar uma distância 4 , que é maior que d 4 3 :

lim x → 0 + ⁡ d x = 4

Da pra comprovar o resultado desses limites tanto grafica quanto visualmente. De fato, d 4 3 é o menor segmento de reta que conseguimos!

Resposta

4 3 , 8 27

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas