Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 308 - 17

Encontre o ponto sobre a reta y = 4 x + 7 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos por partes.

O problema pede que achemos o ponto ( x 0 , y 0 ) que pertença à reta y = 4 x + 7 e que seja o mais próximo possível da origem ( 0 ,   0 ) . Ou seja, temos que minimizar a função distância do ponto ( x 0 , y 0 ) até a origem.

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

A reta y = 4 x + 7 está em vermelho no desenho acima. O segmento de reta preto ilustra a distância de um ponto qualquer da reta e a origem.

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Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Vale lembrarmos a fórmula da distância entre dois pontos.

Seja o ponto 1 ( x 1 ,   y 1 ) e o ponto 2 ( x 2 ,   y 2 ) . A distância entre eles é dada por:

D = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

No nosso caso aqui, temos o ponto ( x 0 , y 0 ) e a origem ( 0 ,   0 ) . Aplicando a fórmula da distância:

D = x 0 - 0 2 + y 0 - 0 2 = x 0 2 + y 0 2

Outra relação importante é o fato de o ponto x 0 , y 0 pertencer à reta y = 4 x + 7 . Portanto:

y 0 = 4 x 0 + 7

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Queremos minimizar a função distância D :

D = x 0 2 + y 0 2

E sabemos que:

y 0 = 4 x 0 + 7

Substituindo:

D = x 0 2 + 4 x 0 + 7 2 =

= 17 x 0 2 + 56 x 0 + 49

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

d D d x 0 = 1 2 17 x 0 2 + 56 x 0 + 49 -   1 2 34 x 0 + 56 =

= 17 x 0 + 28 17 x 0 2 + 56 x 0 + 49 = 0

Como a raiz do denominador é positiva por ser uma raiz quadrada, então basta fazermos:

17 x 0 + 28 = 0 x 0 = - 28 17

y 0 = 4 - 28 17 + 7 = 7 17

O denominador é sempre positivo, pois não tem raízes reais.

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Vamos analisar a função:

D ' = 17 x 0 + 28 17 x 0 2 + 56 x 0 + 49

Usando o teste da primeira derivada, podemos ver que D ' > 0 para todo x 0 > - 28 17 e D ' < 0 para todo x 0 < - 28 17 . Portanto, x 0 = - 28 17 é realmente um ponto de mínimo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não temos outros pontos críticos a destacar aqui.

Passo 7

As fronteiras para x são as fronteiras para a reta, ou seja, x e x . É fácil notar que quando a reta vai para os extremos, a distância para a origem aumenta cada vez mais. A menor distância, portanto, é o valor encontrado no ponto crítico que será mínimo global.

Resposta

O ponto é x 0 , y 0 = - 28 17 , 7 17 .

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