Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

Encontre os pontos da curva 9 x 2 + y 2 = 9 que estão mais distantes do ponto 2,0 .

Passo 1

Um esboço da situação da distância d entre um ponto qualquer na curva até o 2,0 :

( d e s e n h o   r e t i r a d o   d o   g a b a r i t o   o f i c i a l   d a   U n i c a m p )

Para simplificar a análise vamos estudar apenas a parte onde y > 0 , sabendo que a curva é simétrica para baixo, ou seja, se acharmos um par de pontos a , b sabemos que o ponto a , - b teria simetricamente a mesma distância até 2,0 e teria que fazer parte da nossa resposta.

Enfim, para y > 0 nós temos que y x seria igual a:

y 2 = 9 - 9 x 2

y = 3 1 - x 2

Sendo assim, analisamos a distância entre os pontos 2,0 e x , 3 1 - x 2 , correto?

Assim, d será dado pela raiz da soma dos quadrados das diferenças entre as respectivas coordenadas (espera, o que??). Falando é mais complexo do que é na prática, olha aqui:

d = x - 2 2 + 3 1 - x 2 - 0 2

= x - 2 2 + 9 1 - x 2

Imagina que d é a hipotenusa de um triângulo retângulo com os catetos sendo as diferenças entre as coordenadas em x e entre as coordenadas em y . Aplicamos Pitagoras e chegamos nessa fórmula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dada a fórmula, nós podemos otimizar a função se derivarmos d em função de x e igualarmos o termo a 0 .

d ' x = 2 x - 2 + 9 - 2 x 2 x - 2 2 + 3 1 - x 2 - 0 2 = 0

- 4 - 16 x 2 x - 2 2 + 3 1 - x 2 - 0 2 = 0

- 2 ( 1 + 4 x ) x - 2 2 + 3 1 - x 2 - 0 2 = 0

1 + 4 x = 0

x = - 1 4

Ao observarmos d ' x antes e depois de x = - 1 4 vemos que esse é um ponto de máximo, já que a derivada é positiva antes dele e negativa depois. Assim, o ponto mais distante será o:

- 1 4 , 3 1 - - 1 4 2

= - 1 4 , 3 15 16

= - 1 4 , 3 15 4

Analogamente, temos por simetria que o ponto - 1 4 , - 3 15 4 também é solução para nossa questão, como já havíamos dito no ínicio da questão.

Resposta

- 1 4 , 3 15 4   ;   - 1 4 , - 3 15 4

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