Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

Uma janela é construída com um semicírculo e um retângulo como na figura abaixo. Sabendo que seu perímetro é 16   m , determine as dimensões da janela para que sua área seja máxima.

Passo 1

A figura e as dimensões já estão no enunciado, a próxima coisa a fazer aqui é achar as relações que o enunciado nos deu, primeiro pelo perímetro

y + x + y + 2 ∙ x 2 ∙ π 2 = 16

Isso apareceu porque é a soma dos lados do retângulo mais aquele semicírculo,

2 y + x + x π 2 = 16

A área vai ser

A = x y + x 2 2 π 2

Que é a área do retângulo mais a área do semicírculo

A = x y + x 2 π 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora escrever a função a ser maximizada em função de uma das variáveis do problema, vamos deixar a área em função de x que as contas vão ser mais fáceis

Pela equação do perímetro vamos ter

2 y + x + x π 2 = 16

2 y = 16 - x - x π 2

y = 8 - x 2 - x π 4

Substituindo na equação da área

A = x 8 - x 2 - x π 4 + x 2 π 8

A = 8 x - x 2 2 - x 2 π 4 + x 2 π 8

A = 8 x - x 2 2 - 2 x 2 π 8 + x 2 π 8

A = 8 x - x 2 2 - x 2 π 8

Passo 3

Agora temos que derivar essa função e igualar a 0

d A d x = 8 - 2 x 2 - 2 x π 8 = 0

8 - 2 x 2 - 2 x π 8 = 0

8 - x - x π 4 = 0

32 - 4 x - π x = 0

4 x + π x = 32

x = 32 4 + π

Vamos agora para o valor de y

y = 8 - x 2 - x π 4

y = 8 - x 4 2 + π

Substituindo o valor de x vamos ter

y = 8 - 32 4 + π 4 2 + π

y = 8 - 8 4 + π 2 + π

y = 8 - 8 2 + π 4 + π

y = 8 4 + π - 8 2 + π 4 + π

y = 32 + 8 π - 16 - 8 π 4 + π

y = 16 4 + π

Passo 4

Temos agora que ver se o ponto que achamos é de máximo local ou global. No fundo se existe algum ponto melhor. Para isso, teste os extremos do intervalo ou estude o comportamento da função.

Vamos analisar a função:

A = 8 x - x 2 2 - x 2 π 8

Repare que a função A é um polinômio de segundo grau, e portanto, é uma parábola voltada para baixo e só possui um ponto de máximo que foi o que encontramos anteriormente, logo aquele ponto é o ponto onde a área é máxima

x = 32 4 + π

y = 16 4 + π

E eles vão ser as dimensões das janelas

Resposta

x = 32 4 + π

y = 16 4 + π

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