Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

As margens de cima e de baixo de um pôster tem 6   c m e as margens laterais medem 4   c m cada. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384   c m 2 , encontre as dimensões do pôster com a menor área.

Passo 1

O enunciado pode parecer meio confuso, portanto vamos desenhar para entender o que se passa:

Sejam x a largura e y a altura do pôster, conforme indicado. Podemos ver que a área impressa é:

x - 8 y - 12 = 384

Já a área total é:

A = x y

Que é o que queremos minimizar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da equação da área impressa, tiramos:

y = 12 + 384 x - 8

Portanto queremos o mínimo de:

A x = x 12 + 384 x - 8

A x = 12 x + 384 x x - 8

Passo 3

O mínimo é o ponto onde A ' x = 0 , logo:

A ' x = 12 + 384 x - 8 - 384 x 1 x - 8 2

A ' x = 12 + 384 x - 8 * 384 - 384 x x - 8 2

A ' x = 12 - 8 * 384 x - 8 2

A ' x = 0 → 8 * 384 x - 8 2 = 12

x - 8 2 = 32 * 8

Organizando em quadrados perfeitos:

x - 8 2 = 64 * 4

x - 8 = ± 8 * 2

x - 8 = ± 16

Passo 4

Como x > 0 por ser uma medida de comprimento, temos que só o + 16 é válido:

x = 8 + 16

x = 24

Agora precisamos provar que o x = 24 é um mínimo global. Sim, pois o problema poderia não ter mínimo e a questão ser insolúvel. Vamos por partes. Primeiro provamos que ele é mínimo pelo teste da segunda derivada.

O teste diz que um ponto x = x 0 é mínimo se e somente se A ' ' x 0 > 0 . Logo:

A ' ' x = 2 * 8 * 384 x - 8 3

Para x = 24 podemos ver que a derivada é positiva (alias para qualquer x > 8 ):

A ' ' 24 = 2 * 8 * 384 24 - 8 3 > 0

Portanto x = 24 é mínimo. Agora mostramos que ele é global.

Passo 5

Como a função não tende à - ∞ para nenhum valor x → a , então deve existir um mínimo global. De fato:

lim x → 8 + ⁡ A ( x ) = ∞

lim x → ∞ ⁡ A ( x ) = ∞

Como o único mínimo que existe é x = 24 , este deve ser então o mínimo global. Portanto as dimensões devem ser:

x = 24

x - 8 y - 12 = 384 → 16 y - 12 = 384

y - 12 = 24

y = 36

Resposta

x = 24

y = 36

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