Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2013.2, Questão 4

Um peso P deve ser mantido suspenso a 10   c m de uma barra horizontal de extremidades A e B , por um fio na forma de Y (veja na figura). Sabendo que o segmento mede 8   c m , qual o fio de menor comprimento que pode ser usado?

Passo 1

Essa questão facilitou nossa vida: ela já veio com desenho e ela já chamou de x a distância do ponto Q ao ponto médio da barra.

Olhando a figura, podemos ver que o comprimento L do fio é a distância de A até Q , mais a distância de B   até Q , mais a distância de Q   até P :

L = d A Q + d B Q + d Q P

Você concorda comigo que, pela simetria do problema:

d A Q = d B Q

Além disso:

d Q P = 10 - x

Ou seja:

L = 2 d A Q + 10 - x

Então só nos resta achar esse d A Q pra obter uma expressão pro comprimento do fio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse d A Q vai ser tranquilinho de achar, simplesmente por Pitágoras:

Ou seja,

d A Q = 16 + x 2

Assim, o comprimento do fio é:

L x = 2 16 + x 2 + 10 - x

Detalhe que sabemos que x 0 ,   10 .

Passo 3

Queremos minimizar essa função, então vamos derivar:

L ' x = 2 1 2 16 + x 2 0 + 2 x + 0 - 1

L ' x = 2 x 16 + x 2 - 1

Igualando a zero pra achar os pontos críticos:

L ' x = 2 x 16 + x 2 - 1 = 0

2 x 16 + x 2 = 1

2 x = 16 + x 2

4 x 2 = 16 + x 2

3 x 2 = 16

x 2 = 16 3

Como x 0 , isso dá:

x = 4 3

Esse é o único ponto crítico da função L .

Passo 4

Resta só provar que ele é mesmo um ponto de mínimo. Vejamos o sinal da derivada pra x < 4 / 3 e x > 4 / 3 . (Obs.: 4 3 4 1,7 2,3 )

Pra x = 0 :

L ' 0 = - 1 < 0

Pra x = 3 :

L ' 3 = 6 16 + 9 - 1 = 6 5 - 1 = 1 5 > 0

Ou seja, L ' x < 0 para x < 4 3   e L ' x > 0 para x > 4 3 . Então x = 4 3 é o ponto de mínimo global de L x .

Passo 5

Então o menor fio tem comprimento

L 4 3 = 2 16 + 16 3 + 10 - 4 3

= 2 64 3 + 10 - 4 3 = 16 3 + 10 - 4 3 = 12 3 + 10

Resposta

12 3 + 10

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