Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2014.1, Questão 4

Um rio tem 400   m de largura. Deseja-se estender um cabo de comunicação ligando os pontos A e C , situados em margens opostas. O ponto C está 1   k m a justante (isto é, rio abaixo) do ponto A , conforme a figura.

O custo de instalação do cabo é de R $   130,00 por metro no leito do rio e de R $   50,00 por metro no solo seco. Determine quantos metros de cabo deverão ser instalados no rio e quantos em terra para que o custo total seja mínimo.

Passo 1

Vou redesenhar a figura adicionando as distâncias e um ponto auxiliar B :

O objetivo é saber que distância de cabo A B e C B otimiza o custo, de acordo com os dados. Em resumo, se eu chamar de B eesse primeiro ponto na outra margem, e de x a distância horizontal de A até B eu já estou pronto para modelar o problema.

A distância A B está no rio, e tem seu custo de R $   130 por metro. Já B C está na margem, custará R $   50 o metro. Assim, a função preço seria:

P = 130 A B + 50 B C

No caso, em função de x , A B são por Pitágoras e B C por uma diferença simples:

A B = x 2 + 400 2     ;     B C = 1000 - x

P x será dado da seguinte maneira:

P x = 130 x 2 + 400 2 + 50 1000 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora só precisamos otimizar essa função! Deriva para x e iguala a 0 :

P ' x = 130 x 2 + 400 2 ' + 50 1000 - x ' = 0

130 x 2 + 400 2 ' 2 x 2 + 400 2 + 50 - 1 = 0

130 2 x 2 x 2 + 400 2 - 50 = 0

130 x = 50 x 2 + 400 2

130 x 2 = 50 x 2 + 400 2 2 16900 x 2 = 2500 x 2 + 2500 160000

x 2 = 2500 160000 14400

x = 50 400 120 = 500 3

Esse é o valor de x que otimiza o preço.

O valor do preço otimizado é, então:

P 500 3 = 130 500 3 2 + 400 2 + 50 1000 - 500 3 = 98000

Passo 3

Com isso, os valores de A B (no rio) e B C (na margem) serão:

A B = 500 3 2 + 400 2 = 25 100 2 + 9 16 100 2 9

= 25 + 144 100 2 3 = 169 100 2 3

= 1300 3   m

B C = 1000 - 500 3 = 2500 3   m

Passo 4

E aí...já acabou a questão??? Nãããooo....Precisamos verificar os valores extremos do nosso domínio onde a função está definida.

Para x = 0 :

A B ( r i o ) = 400   m

B C ( t e r r a ) = 1000   m

P e x t r e m o = 50 1000 + 130 400 = 10200

Se fizermos x = 1000 :

A B ( r i o ) = ( 400 ) 2 + ( 1000 ) 2

A B ( r i o ) 1077   m

B C ( t e r r a ) = 0

P e x t r e m o = 50 0 + 130 1077 = 140010

Passo 5

Como P 500 3 < P e x t r e m o , temos que 500 3 é o valor de x que otimiza o preço. Portanto, como calculamos no passo 3:

A B r i o = 1300 3   m     ;     B C t e r r a = 2500 3   m

Resposta

A B r i o = 1300 3   m     ;     B C t e r r a = 2500 3   m

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