Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2016.1, Questão ME7

Seja Q um ponto da curva x 2 - y 2 = 1 mais próximo do ponto P = 0,2 . A distância entre P e Q é:

  1. 3 .
  2. 2 .
  3. 5 .
  4. 6 .

Passo 1

Vamos pensar num ponto x , y pertencente a curva da questão. A distância desse ponto para 0,2 é justamente:

d = x - 0 2 + y - 2 2 = x 2 + y 2 - 4 y + 4

Como ( x , y ) pertence a curva, podemos usar a relação entre eles:

x 2 - y 2 = 1 x 2 = 1 + y 2

E substituir:

d y = y 2 + 1 + y 2 - 4 y + 4 = 2 y 2 - 4 y + 5

A menor distância se dará no ponto de mínimo dessa expressão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Então temos que achar o mínimo dessa expressão aí. O mínimo se estará nos pontos críticos que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe.

Como precisamos da derivada para prosseguir, vamos calculá-la usando a regra da cadeia:

d ' y = 4 y - 4 2 2 y 2 - 4 y + 5 = 2 y - 2 2 y 2 - 4 y + 5

Passo 3

Vamos ver agora quando a derivada não existe. Isso vai acontecer quando o denominador zera, mas esse denominador não tem raízes reais e é sempre positivo, logo não nos interessa.

Vamos então para quando a derivada é zero:

2 y - 2 = 0 y = 1

Passo 4

Esse é o único ponto crítico. Vamos ver se é de fato um ponto de mínimo. Testando à esquerda desse ponto, em y = 0 :

d ' 0 = - 2 5 < 0

Agora à direita, em y = 2 :

d ' 2 = 4 - 2 8 - 8 + 5 = 2 5 > 0

Como a derivada é menor que zero à esquerda e maior que zero a direita, pelo teste da primeira derivada, se trata, de fato, de um ponto de mínimo.

Vale lembrar que essa é uma questão objetiva e esse é o único ponto crítico. Então, se você tiver sem tempo, vá na fé e considere logo o ponto como sendo um ponto de mínimo! Só não vá dá esse mole nas discursivas, porque se tira ponto!

Passo 5

Calculado o ponto, vamos encontra x correspondente substituindo na curva:

x 2 - 1 = 1 x = 2

Descartando a parte negativa, pois usaremos a distância. Substituindo na expressão da distância:

d m i n = 2 - 0 2 + 1 - 2 2 = 3

Que é exatamente a letra a !

Resposta

d m i n = 3

Letra a.

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