Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Problemas de Otimização

Seja r uma reta que passa pelo ponto ( 4,3 ) e forma um triângulo com os eixos coordenados positivos. Determine a equação de r para que área desse triângulo seja mínima.

Passo 1

A situação da questão é essa aqui, ó:

Onde a área do triângulo seria dada por

A = B . h 2

Agora, como determinamos h e B em parâmetros da reta? Reparou que eu marquei ali onde x = 0 e onde y = 0 ? São pontos que delimitam essas dimensões, assim, a gente vai determinar da seguinte maneira:

y = 0 → x = - b a = B

x = 0 → y = b = h

Logo,

A = - b 2 2 a

Só que não vamos conseguir otimizar (no caso, minimizar) uma função com duas variáveis. Como relacionar a e b ?

A reta passa em ( 4,3 ) ! Isso vai gerar uma relação entre os coeficientes da reta:

3 = 4 a + b

a = 3 - b 4

Dessa forma:

A ( b ) = - b 2 2 3 - b 4 = - 2 b 2 3 - b

(a gente percebe na função que o domínio é b   ∈   R - { 3 } )

Vamos otimizar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivamos A ( b ) em função de b e igualamos A ' ( b ) a 0 para descobrir o b que gera a menor área:

A ' b = - 2 b 2 ' 3 - b - - 2 b 2 3 - b ' 3 - b 2

= - 4 b 3 - b - - 2 b 2 - 1 3 - b 2

= - 12 b + 4 b 2 - 2 b 2 3 - b 2

= 2 b ( b - 6 ) 3 - b 2

Igualando a 0 , temos:

2 b ( b - 6 ) 3 - b 2 = 0

b = 0   o u   b = 6

Se b = 0 notaremos que não há área delimitada entre os eixos no lado positivo, o que não é útil para nós. Enfim, o valor que a gente procura é b = 6 .

A 6 = - 2 6 2 3 - 6 = 24

Para provar que esta é a área mínima, basta fazer:

lim x → + ∞ ⁡ A ( b ) = + ∞

lim x → 3 + ⁡ A ( b ) = + ∞

O que, somado ao fato de que não existem outros pontos críticos (onde f ' x = 0 ) no intervalo ] 3 , + ∞ [ , garante que esse é um mínimo.

Agora, ele não quer a área, ele quer a reta que concede a maior área! Assim, vamos calcular a reta sabendo que ela passa em ( 4,3 ) :

y = a x + b → 3 = 4 a + 6

a = - 3 4

Logo,

r :     y = - 3 x 4 + 6

Resposta

r :     y = - 3 x 4 + 6

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