Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

Sejam A e B pontos contidos no eixo x e eixo y , respectivamente, tais que o segmento ligando A e B passa por 1 ,   2 . Determine A e B tal que a área do triângulo com vértices A , B e 0 ,   0 é minimal.

Passo 1

Vamos começar entendendo essa situação, fazendo aquele clássico esboço!

Queremos estudar os triângulos cujos 3 vértices estão:

  • um na origem
  • um no eixo x (ponto A )
  • um no eixo y (ponto B )

Sendo que o segmento que liga A   e B   passa por 1 ,   2 . Então seria algo assim:

Variando os pontos A e B , a gente pode obter infinitos triângulos:

E desses triângulos todos, queremos o de menor área!

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Passo 2

Agora que fizemos o esboço, vamos nomear as variáveis do problema.

O que varia é a posição de A e a posição de B . Mas A está sempre no eixo x e B no eixo y . Então digamos que as coordenadas de A e B   são

A = b ,   0

B = 0 ,   h

Assim b e h serão nossas variáveis: respectivamente, a base e a altura do triângulo.

Portanto, a área do triângulo é dada por:

A = b h 2

Passo 3

Agora vejamos qual é a relação entre b e h . Tive uma ideia meio louca pra fazer isso, vê o que você acha.

Conhecemos 3 pontos que fazem parte do segmento que liga A   e B : A = b ,   0 ,   B = 0 ,   h e 1 ,   2 , certo? E esse segmento tem um certo coeficiente angular que, como todo bom coeficiente angular, pode ser encontrado a partir de apenas 2 pontos.

Então vamos fazer o seguinte: encontrar esse coeficiente angular em função de b , e depois em função de h , e igualar os dois! Beleza?

Usando os pontos b ,   0 e 1 ,   2 , temos que o coeficiente angular da reta é:

Δ y Δ x = 0 - 2 b - 1 = - 2 b - 1

Usando os pontos 0 ,   h e 1 ,   2 :

Δ y Δ x = 2 - h 1 - 0 = 2 - h

Passo 4

Agora é só igualar os 2 resultados pra achar uma relação entre b e h :

2 - h = - 2 b - 1

Isolando o h :

h = 2 + 2 b - 1 = 2 b - 1 + 2 b - 1

→ h = 2 b b - 1

Pronto, achamos h em função de b :)

Passo 5

Estamos interessados na área A do triângulo:

A = b h 2

Substituindo

h = 2 b b - 1

Achamos:

A = b 2 b - 1

Ou, se preferir:

A b = b 2 b - 1

Queremos o triângulo de área minimal então nossa missão vai ser achar o mínimo global dessa função A b , show?

Passo 6

Antes de partirmos pra achar esse mínimo global, vamos só parar rapidinho pra determinar o domínio da função A b . Esse é um detalhe que pode vir a ser muito importante.

b pode ser o quão grande a gente quiser, não tem problema aumentar ele que o triângulo ainda vai existir de boa.

Agora, repare que devemos ter b > 1 . Senão não daria pra fechar um triângulo passando pelo ponto 1 ,   2 . Olhando na figura isso fica mais claro.

Enfim, isso significa que o domínio de A b é o intervalo 1 ,   + ∞ .

Dito isso, vamos continuar!

Passo 7

Vamos derivar essa função área pra achar seus pontos críticos. Pela regra do quociente:

A ' b = 2 b b - 1 - b 2 b - 1 2 = b 2 - 2 b b - 1 2 = b b - 2 b - 1 2

Igualando a derivada a zero:

A ' b = 0 → b b - 2 b - 1 2 = 0

Ou seja:

b = 0     o u     b = 2

Mas b = 0 está fora do domínio de A b , logo:

b = 2

Esse é o único ponto crítico da função A b .

Passo 8

Vamos analisar o sinal da derivada pra determinar se esse ponto é mesmo o ponto de mínimo global que procuramos.

Montando o famoso quadro de sinais (lembrando que b > 1 ):

No intervalo 1 ,   2 a derivada é negativa, então a área dos triângulos vai diminuindo. Depois, com b > 2 , a área passa a aumentar.

Então sim, o ponto b = 2 é o ponto de mínimo global da função A b .

Passo 9

Estamos quase acabando! Concluímos que o triângulo de menor área tem base b = 2 , então sua altura vai ser:

h = 2 b b - 1 = 2.2 2 - 1 = 4

Portanto, os pontos A e B que minimizam a área do triângulo são:

A = 2 ,   0

B = 0 ,   4

Aee matamos a questão! :)

Resposta

A = 2 ,   0

B = 0 ,   4

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