Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

USP, Cálculo 1, P2 - 2015, Questão 3

A superfície lateral de um cilindro reto é obtida unindo-se os lados A D e B C de um retângulo A B C D . Dentre todos os retângulos de diagonal 40 c m , determine o ângulo θ (ver figura) que permite construir um cilindro de volume máximo.

Passo 1

Bom, vou precisar de uns conhecimentos de geometria do Ensino Médio para fazer essa. Quando eu abro dessa maneira um cilindro eu reparo que a base do retângulo corresponde ao perímetro da base do cilindro e a altura do retângulo corresponde à altura mesmo do cilindro:

A B = 2 π r   ;   C B = h

Tendo ainda que o Volume vai valer

V = π r 2 h

A gente consegue escrever V em função das distâncias A B e C B , saca aqui:

V = A B 2 C B 4 π

Da mesma, forma, sabemos escrever A B e C B em função desse ângulo θ por trigonometria (lembrando que pela geometria da figura temos θ apenas entre 0 e π 2 ):

A B = 40 cos ⁡ θ ; C B = 40 sen ⁡ θ

V = 40 cos ⁡ θ 2 40 sen ⁡ θ 4 π

= 40 3 4 π cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

Agora vamos derivar essa função para otimizá-la, igualando o V ' a 0 :

V ' θ = 40 3 4 π cos 2 ⁡ θ ' sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ ' = 0

40 3 4 π - 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 0

i )   cos ⁡ θ = 0 → θ = 0

i i ) - 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 0

tg 2 ⁡ θ = 1 2

θ = arctg ⁡ 1 2

Sabemos que se θ for igual a 0 o volume será nulo, sendo ele ponto de mínimo. Somado a isso o fato de que não podemos graficamente ter dois mínimos seguidos, garantimos que θ = arctg ⁡ 1 2

É ponto de máximo!

OBS.: Vamos lembrar que em problemas de otimização nós também devemos sempre olhar para os extremos do intervalo onde a função está definida. Mas para este nosso caso, já sabemos que se θ for igual a 0 o volume será nulo, mas também que se θ for igual a π 2 o volume será nulo novamente! Desta forma, nosso θ = arctg ⁡ 1 2 é o nosso ponto de máximo!

*Dependendo da forma como você resolve a equação da derivada, o resultado pode ser arcsen ⁡ 1 3 . Acontece que arcsen ⁡ 1 3 = arctg ⁡ 1 2 , então tudo certo =D

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Resposta

θ = arctg ⁡ 1 2

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