Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado.

f x = c o s ⁡ ( x ) ,   x 0 = 0

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = c o s ⁡ ( x ) → f 0 = 1

f ' x = f ' cos ⁡ x = - sen ( ⁡ x ) → f ' 0 = 0

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = 1 + + 0 x - 0 = 1

Resposta

P x = 1

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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0