Qual é a definição da série de Taylor de uma função?

Use a série de Taylor da função s i n ⁡ ( x ) para calcular f 10 ( 0 ) onde f : R → R é uma função dada por

f x = x s e n ( x 3 )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

A definição da série de Taylor é:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! ( x - a ) n

Porém, o enunciado pede para a gente usar a série de Taylor da função s e n ( x ) como referência, então teremos:

s e n x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Ok, mas a função pedida do enunciado é

f x = x s e n ( x 3 )

Então vamos ter que fazer algumas alterações.

Passo 2

Para começar, temos x ³ dentro do seno, então vamos usar:

s e n x ³ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Além disso, temos um x multiplicando a função, então:

x s e n x ³ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x

Show, já temos a função de Taylor da função pedida no enunciado, agora vamos atrás da nossa f 10 ( 0 ) :

f 10 0 = ( - 1 ) n x 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x

f 10 0 = ( - 1 ) 10 0 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 0

f 10 0 = 0

Resposta

f 10 0 = 0

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