Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 para cada uma das funções abaixo, em torno

de x 0 dado:

b. f x = e x ,   x 0 = 0

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = e x em torno de x 0 pode ser calculado usando a fórmula geral do polinômio de Taylor:

P x =   f x 0 +   f ' x 0 x   -   x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função f x = e x

1. f x = e x

2. f ' x = e x

3. f ' ' x = e x

Passo 2

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

P x =   f 0 +   f ' 0 x   + f ' ' 0 2 x 2

Substituindo os valores das derivadas no ponto x 0 = 0

f ( 0 )   = e 0   = 1

f ' 0 = e 0 = 1

f ' ' 0 =   e 0 = - 1

Agora, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = e x   em torno de x 0 = 0 é:

P x =   1 +   1 ⋅   x   +   - 1 2 x 2   = 1 +   x   - 1 2 x 2

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = ln ⁡ 1 + x em torno de x 0 é

P x = 1 +   x   - 1 2 x 2

Resposta

P x =   1 +   x   - 1 2 x 2

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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0