Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f x = e x em torno de x 0 = 0 . Em seguida,

avalie e com erro em módulo inferior a 10 - 5

Mostre que, para todo x ∈ R ,

e x 2 - 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 3 ! + … + x 2 n n ! ≤ e x 2 x 2 n + 2 n + 1 !

Agora, avalie ∫ 0 1 e x 2 d x com erro inferior a 10 - 5 .

Passo 1

Vamos abordar cada parte separadamente:

Polinômio de Taylor de ordem n de f x = e x   de x 0 = 0 :

O polinômio de Taylor de ordem n da função f x = e x em torno de x 0 = 0 pode ser calculado usando a fórmula geral do polinômio de Taylor:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para a função f x = e x , todas as derivadas são iguais a e x .

Portanto, as derivadas em x 0 = 0 também serão iguais a e 0 = 1

O polinômio de Taylor de ordem n será:

P x = 1   +   1 ⋅ x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + … + 1 n ! x n

Passo 2

Mostrando a desigualdade para e x 2 - 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 3 ! + ⋯   + x 2 n n !

Vamos considerar a série de Taylor da função e x 2 em torno de x 0 = 0

e x 2 = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 3 ! + ⋯   + x 2 n n ! + R n x

Aqui, R n ( x ) é o resto da série de Taylor.

A desigualdade que queremos provar é:

e x 2 - 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 3 ! + ⋯   + x 2 n n ! ≤ e x 2 x 2 n + 2 n + 1 !

Passo 3

Agora, vamos observar a diferença entre os dois lados:

e x 2 - 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 3 ! + ⋯   + x 2 n n ! - e x 2 x 2 n + 2 n + 1 !

Isso pode ser reescrito como:

1 n + 1 ! n + 1 ! e x 2 - n + 1 ! - - n + 1 ! x 2 - n + 1 ! 2 x 4 - n + 1 ! 3 ! x 6 - … - n + 1 ! n ! x 2 n - e x 2 x 2 n + 2

Agora, notamos que os termos n + 1 ! em cada termo podem ser agrupados e fatorados:

n + 1 ! e x 2 - 1 - x 2 - x 4 2 - x 6 3 ! - … - x 2 n n ! - e x 2 x 2 n + 2

A parte entre parênteses é exatamente o resto R n ( x ) da série de Taylor para e x 2

Portanto, temos:

n + 1 R n ( x )

Passo 4

Agora, observamos que R n x é o resto da série de Taylor para e x 2 , então, por definição,

R n x = e ξ 2 x 2 n + 2 2 n + 2 !

onde ξ está entre 0 e x 2

Isso nos leva a:

n + 1 ! e ξ 2 x 2 n + 2 2 n + 2 !

Como e ξ 2 é positivo e ξ 2 está entre 0 e x 2 , podemos concluir que e ξ 2 é no máximo e x 2

Portanto, a desigualdade é demonstrada:

e x 2 - 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 3 ! +   … + x 2 n n ! ≤ e x 2 x 2 n + 2 n + 1 !

Passo 5

Avaliando ∫ 0 1 e x 2 d x   com erro inferior a 10 - 5 :

Sabemos que a série de Taylor para e x 2 é:

e x 2 = 1 + x 2   + x 4 2 ! + x 6 3 ! + …

Para avaliar a integral de e x 2 no intervalo 0,1 , podemos integrar termo a termo a série de Taylor:

∫ 0 1 e x 2 d x = ∫ 0 1 1 + x 2   + x 4 2 ! + x 6 3 ! + … d x

Passo 6

A integral de cada termo é direta, e a integral de e x 2 se torna uma soma infinita de termos cada vez menores:

∫ 0 1 e x 2 d x = 1 + 1 3 + 1 2 ⋅ 2 ! + 1 3 ⋅ 3 ! + …

Agora, vamos avaliar o erro usando o resto da série de Taylor:

R n x = e ξ 2 x 2 n + 2 2 n + 2 !

Se quisermos que o erro seja inferior a 10 - 5 , precisamos encontrar n tal que:

e 1 ⋅ 1 2 n + 2 2 n + 2 ! ≤ 10 - 5

O valor de n   necessário dependerá da precisão desejada e do valor específico de e 1 , mas em geral, escolhendo um valor suficientemente grande de n , podemos garantir que o erro seja menor que 10 - 5

Resposta

O valor de n   necessário dependerá da precisão desejada e do valor específico de e 1 , mas em geral, escolhendo um valor suficientemente grande de n , podemos garantir que o erro seja menor que 10 - 5

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0