Mostre que:

c. 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2 ,   ∀ x ∈ [ 0,1 ]

Passo 1

Para mostrar a desigualdade 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2 para x ∈ [ 0,1 ] , vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função exponencial e x centrada em x = 0

A expansão em série de Taylor da função exponencial e x é dada por:

e x = 1 x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … .

Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:

0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2

Vamos avaliar a desigualdade nos limites do intervalo [ 0,1 ]

1. Quando x = 0

e 0 - 1 + 0 + 0 2 2 = 1 - 1 = 0

E, claro,

0 3 0 = 0

Portanto, a desigualdade é verdadeira quando x = 0

Passo 2

2. Quando x = 1

e x - 1 + x + x 2 2 = e 1 - 1 + 1 + 1 2 2 = e - 5 2

e 1 - 1 + 1 2 2 = e - 3 2

Portanto, a desigualdade superior não é garantida para x = 1

Agora, vamos considerar 0 < x < 1

Usando a expansão de Taylor de e x temos:

e x - 1 + x + x 2 2 = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … - 1 + x + x 2 2

e x - 1 + x + x 2 2 = x 3 3 ! + t e r m o   d e   o r d e m   s u p e r i o r

Passo 3

Uma vez que 0 < x < 1 podemos concluir que os termos de ordem superior são todos positivos.

Portanto, temos:

e x - 1 + x + x 2 2 ≥ x 3 3 ! > 0

E, como 0 < x < 1 , , temos 0 < x 3 < x 2 o que nos leva a:

e x - 1 + x + x 2 2 < x 2 2

Concluindo, para x ∈ [ 0,1 ] a desigualdade 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2 é verdadeira.

Resposta

Vide o passo a passo.

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0