Prove que

x   − x ³ / 3 !   <   s i n   x   <   x   − x ³ / 3 !   + x ⁵ / 5 !   ,   p a r a   x   >   0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos provar que

x   − x ³ / 3 !   <   s i n   x   <   x   − x ³ / 3 !   + x ⁵ / 5 !   ,   p a r a   x   >   0

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Para provarmos o resultado, vamos fazer a expansão em taylor da função s i n ( x ) ao redor de x = 0

s i n ( x ) = s i n ( 0 ) + c o s ( 0 ) x   - s i n ( 0 ) x ² / 2 - c o s ( 0 ) x ³ / 3 ! + s i n ( 0 ) x ⁴ / 4 ! + c o s ( 0 ) x ⁵ / 5 ! + O ( 6 )

Logo, temos que

x   − x ³ / 3 !   <   s i n   x  

Vamos provar a segunda parte da desigualdade

s i n ( x ) < x   − x ³ / 3 !   + x ⁵ / 5 !   ,   p a r a   x   >   0

Para isso, só precisamos mostrar que o lado direito cresce mais rápido que o lado esquerdo, ou seja que as derivadas de um lado são maiores que as derivadas do outro lado. Então temos

c o s ( x ) < 1   − x ² / 2 !   + x ⁴ / 4 !   ,   p a r a   x   >   0

Repetindo o argumento anterior mais 4 vezes, temos:

c o s ( x ) < 1   ,   p a r a   x   >   0

Logo, concluímos que

x   − x ³ / 3 !   <   s i n   x   <   x   − x ³ / 3 !   + x ⁵ / 5 !   ,   p a r a   x   >   0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0