Seja a função f ( x ,   y )   =   x 3 +   y 3 −   3 x y   +   8

a. Determine o polinômio de Taylor P 1 ( x ,   y ) de ordem 1 de f , em torno do ponto (1, 1).

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o polinômio de Taylor P 1 ( x ,   y ) de ordem 1 de f , em torno do ponto (1, 1). Sabemos que a expansão de Taylor torno do ponto ( x 0 ,   y 0 ) , é dada por

f ( x ,   y )   = ∑ n = 0 + ∞ ∑ i = 0 n 1 i ! ( n - i ) ! ∂ n f ∂ x i ∂ y n - i   ( x 0 ,   y 0 ) ( x   −   x 0 ) i   ( y   −   y 0 ) n − i = ∑ n = 0 + ∞ P n ( x ,   y )  

Então vamos calcular P n ( x ,   y ) , para n = 1 . Vamos lá!

Passo 2

Temos que o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto ( 1 ,   1 ) é:

P 1 ( x ,   y ) = f ( 1 ,   1 ) + f x ( 1 ) ( 1 ,   1 ) ( x - 1 ) + f y ( 1 ) ( 1 ,   1 ) ( y - 1 )

sendo, f k ( 1 ) ( x 0 ,   y 0 ) = ∂ f ( x 0 ,   y 0 ) ∂ k . Então temos que:

P 1 ( x ,   y ) = 7 + ( 0 ) ( x - 1 ) + ( 0 ) ( y - 1 ) = 7

P 1 ( x ,   y ) = 7 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 1 ( x ,   y ) = 7 .

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0