Seja f   : ] a ,   b [ →   R uma função de classe C 2 e suponha que x 0   ∈   ] a ,   b [ seja um ponto crítico de f . Mostre que:

a.se f   ' ' ( x 0 )   >   0 , então x 0 é um ponto de mínimo local de f ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos as seguintes informações sobre a função:

f ( 1 ) ( x 0 )   =   0 , x 0   ∈   ] a ,   b [ é um ponto crítico de f ;

f ( 2 ) ( x 0 )   >   0 ;

f ( n ) ( x 0 ) = 0   , para   n >   2 , f é uma função de classe C 2 .

Para mostrar que x 0 é um ponto de mínimo local de f , vamos escrever a expansão de Taylor dessa função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos construir a expansão de Taylor:

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( 1 ) ( x 0 ) 1 ! ( x - x 0 ) + f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! ( x - x 0 ) 2

Reorganizando,

f ( x ) - f ( x 0 ) = f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! ( x - x 0 ) 2

Como f ( 2 ) ( x 0 )   >   0 , temos que

f ( x ) - f ( x 0 ) > 0

f ( x ) > f ( x 0 ) .

Essa condição nos indica que x 0 é um mínimo local de f .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0