Seja a função f ( x ,   y )   =   x 3 +   y 3 −   3 x y   +   8

c. Usando o item (b), mostre que, para todo ( x ,   y )   ∈   R 2 , com x   >   1 / 2 e y   >   1 / 2 , vale que E 1 ( x ,   y )   ≥   3 2   ( x   −   y ) 2   .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos pelo item anterior que:

E 1 ( x ,   y )   = 3 ( d   ( y   −   1 ) 2 - ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + c ( x   −   1 ) 2 )

sendo c entre x e x 0 e d entre y e y 0 .

Então, vamos calcular E 1 ( x ,   y ) , para n = 1 e ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1,1 ) . Como x   >   1 / 2 e y   >   1 / 2 , vamos considerar ( c ,   d ) ≥ ( 1 2 ,   1 2 ) . Vamos lá!

Passo 2

Temos que:

E 1 ( x ,   y )   = 3 ( d   ( y   −   1 ) 2 - ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + c ( x   −   1 ) 2 )

Considerando ( c ,   d ) ≥ ( 1 2 ,   1 2 ) , temos que

E 1 ( x ,   y )   ≥ 3 2 (   ( y − 1 ) 2 - 2 ( x − 1 ) ( y − 1 ) + ( x − 1 ) 2 ) = 3 2 ( ( x   −   1 ) - ( y   −   1 ) ) 2

Temos que,

E 1 ( x ,   y )   ≥ 3 2 ( x - y ) 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

E 1 ( x ,   y )   ≥ 3 2 ( x - y ) 2 .

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