Sejam I um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função n vezes derivável em I, onde n   ≥   1 . Suponha que exista um polinômio

Q ( x )   =   a n ( x   −   p )   n   +   a n - 1 ( x   −   p )   n - 1   +   .   .   .   +   a 1 ( x   −   p )   +   a 0

tal que

l i m x → p f ( x )   −   Q ( x ) ( x - p ) n = 0 .

Deduza quem são os coeficientes de Q ( x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os coeficientes de Q ( x ) , tal que

l i m x → p f ( x )   −   Q ( x ) ( x - p ) n = 0 .

Então, vamos escrever a função em termos de sua expansão de Taylor e avaliar quando a igualdade é satisfeita.

Vamos lá!

Passo 2

Temos que a expansão de f ( x ) , que é n vezes derivável em I, em torno de x = p é:

f ( x ) = ∑ n = 0 n f ( n ) ( p )   ( x - p ) n n !

escrevendo também Q ( x )

Q ( x ) = ∑ n = 0 n a n   ( x - p ) n .

Substituindo na relação

l i m x → p f ( x )   −   Q ( x ) ( x - p ) n = ∑ n = 0 n ( f ( n ) ( p ) n !   -   a n )   ( x - p ) n ( x - p ) m = 0 .

Então, para zerar todos os termos, temos que

f ( n ) ( p ) n !   -   a n = 0

  a n = f ( n ) ( p ) n !   .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  a n = f ( n ) ( p ) n !   .

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0