Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

( d ) Mostre que cada termo do lado direito da igualdade acima é um número inteiro (aqui a desigualdade N > b será crucial). Deduza que N ! R N também é inteiro.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que e é racional para escrever

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

em que N > 3 e N > b (esse fato será importante mais para frente). E, usamos um pouquinho de álgebra para escrever essa expressão na forma

N ! R N = N ! b a - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N ! .

de maneira que podemos agora trabalhar com o seguinte passo de nosso roteiro

( d ) Mostre que cada termo do lado direito da igualdade acima é um número inteiro (aqui a desigualdade N > b será crucial). Deduza que N ! R N também é inteiro.

Ele quer que demonstremos que N ! R N é inteiro, ou seja, como foi dito na alternativa, tudo que basta é demonstrar que todos os termos do lado direito da igualdade são inteiros! (Uma soma de inteiros tem que ser inteiro), é claro no entanto, que devemos tomar cuidado com os termos que são razões! Saca só!

Passo 2

Vamos começar com o termo

N ! b a

temos que a é inteiro e b é inteiro, mas não necessariamente a razão entre eles é inteira. O que nos salva é o termo de N ! , note que N > b por definição, sendo assim, podemos garantir que

N ! = N ( N - 1 ) ( N - 2 ) . . . b !

note que tomar um inteiro N e subtrair um inteiro 1 subsequentemente fará com que você percorra todos os inteiros menores do que ele, e portanto, em algum momento teremos b ! = ( N - a ) ! Portanto, o termo que estamos analisando é da forma

N ! b a = N ( N - 1 ) ( N - 2 ) . . . ( b - 1 ) ! a

e, um produto de inteiros é necessariamente inteiro! Podemos usar o mesmo argumento para mostrar que

N ! 2 !

Já que N > 3 , e portanto pode ser expandido como N ! = N ( N - 1 ) ( N - 2 ) . . . 2 ! , assim como também podemos mostrar que N ! = N ( N - 1 ) ! , e portanto, os seguintes termos são inteiros

N ! ( N - 1 ) ! e N ! N !

Como 2 N ! é claramente inteiro (produto de inteiros é inteiro), temos que todos os termos a direita são inteiros, e podemos garantir que

N ! R N

é inteiro! Esse passo foi isso! Te vejo no próximo e último passo!

Resposta

Ao longo dos passos!

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0