Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

( c ) Reescreva a igualdade acima para obter

N ! R N = N ! b a - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N ! .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que e é racional para escrever

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

em que N > 3 e N > b (esse fato será importante mais para frente). Agora, queremos resolver

( c ) Reescreva a igualdade acima para obter

N ! R N = N ! b a - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N ! .

Fazer isso é uma questão de operações algébricas! Multiplicar os dois lados, passar para o outro lado subtraindo e lembrar um pouquinho de como funciona uma expansão desta forma! Saca só!

Passo 2

Temos a seguinte relação

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

a parte mais difícil de visualizar é que anterior ao termo de 1 / N ! existe um termo da forma 1 / ( N - 1 ) ! Sendo assim, temos que

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 ( N - 1 ) ! + 1 N ! + R N

podemos juntar os dois termos iniciais, já que 1 + 1 = 2 , multiplicar tudo por N ! , obtendo então

N ! a b = 2 N ! + N ! 2 ! + . . . + N ! ( N - 1 ) ! + N ! N ! + N ! R N

Isolando o termo N ! R N , temos finalmente que

N ! R N = N ! a b - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N !

Como queríamos demonstrar! Vamos para o próximo passo agora!

Resposta

Ao longo dos passos!

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0