Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

( b ) Suponha, por absurdo, que e seja racional e escreva e = a b , onde a , b são inteiros positivos. Escolha um número inteiro N tal que N > 3 e N > b . Use o item anterior para concluir que

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, no passo anterior demonstramos que

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! . Agora, precisamos usar esse resultado para realizar o seguinte problema

( b ) Suponha, por absurdo, que e seja racional e escreva e = a b , onde a , b são inteiros positivos. Escolha um número inteiro N tal que N > 3 e N > b . Use o item anterior para concluir que

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

Note que escrever o formato acima é bastante direto, já que não precisamos usar o formato explícito de N neste resultado! Mas, é bom manter em mente que N > 3 e N > b , já que isso será importante nos passos subsequentes! Bora lá!

Passo 2

Bem, se estamos, de maneira absurda, supondo que e = a / b , ou seja, que ele é um número “racional”, vamos escrever isso explicitamente

a b = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

se a nossa expansão for feita até um número N inteiro, temos que o formato acima se torna

a b = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

usando que 1 ! = 1 , chegamos no resultado exato indicado

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

Esse passo foi esse! Vamos para o próximo!

Resposta

Ao longo dos passos!

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0