Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 1, calcule um valor aproximado e avalie o erro

para:

b. e 0,001

Passo 1

Vamos usar o polinômio de Taylor de ordem 1 que calculamos anteriormente para a função f ( x ) = e x   em torno de x 0 = 0

P 1 x = f 0 + f ' 0 ⋅ x

A derivada da função f ( x ) = e x   é f ( x ) = e x   e em x = 0 , temos f ' ( 0 ) =   e 0 = 1 .

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 1 para a função f ( x ) = e x   em torno de x 0 = 0 é:

P 1 x = e 0 + 1 ⋅ x = 1 + x

Agora, queremos usar esse polinômio para aproximar o valor de e 0,001

Substituindo x = 0,001 na expressão do polinômio:

P 1 0.001 = 1 + 0.001 = 1.001

Passo 2

O valor aproximado usando o polinômio de Taylor de ordem 1 é 1,001

Agora, vamos avaliar o erro entre essa aproximação e o valor real de e 0,001 :

E r r o = V a l o r   R e a l - V a l o r   A p r o x i m a d o

E r r o = e 0,001 - 1,001

Calculando o valor exato de e 0,001 :

e 0,001 ≈ 1,00100050017

Calculando o erro:

E r r o ≈ 1,00100050017 - 1,001

E r r o ≈ 0,00000050017

O erro é aproximadamente 0,00000050017 , o que indica que a aproximação usando o polinômio de Taylor de ordem 1 está muito próxima do valor real de e 0,001 .

Isso ocorre porque o polinômio de Taylor de ordem 1 é uma boa aproximação para valores próximos ao ponto x 0 = 0

Resposta

E r r o ≈ 0,00000050017

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