Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro

para:

c. sin ⁡ 0,1

Passo 1

Para calcular um valor aproximado usando o polinômio de Taylor de ordem 2 da função f x = s i n ⁡ ( x ) em torno de x 0 = 0 podemos substituir x = 0.1 na equação do polinômio de Taylor e avaliar o erro relativo.

O polinômio de Taylor de ordem 2 para f x = s i n ⁡ ( x ) em torno de x 0 = 0 é:

P x = x - x 3 3 !

Substituindo x = 0.1

P 0.1 =   0.1   - 0.1 3 3 !

= 0.1 - 0.001 6

= 0.1 - 0.0001666

≈ 0.099833  

Passo 2

Agora, para avaliar o erro, vamos calcular a diferença entre o valor real e o valor aproximado usando o polinômio de Taylor:

E r r o   = sin ⁡ 0.1 - 0.099833

Calculando o valor numérico:

E r r o ≈ 0.0001666

O erro relativo é dado por:

E r r o   R e l a t i v o = E r r o sin ⁡ 0.1 ≈ 0.00016666 sin ⁡ 0.1 ≈ 0.001667

Portanto, usando o polinômio de Taylor de ordem 2, o valor aproximado de sin ⁡ ( 0.1 ) é 0.099833, e o erro relativo é aproximadamente 0.001667, ou cerca de 0.167%.

Resposta

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