Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 1, calcule um valor aproximado e avalie o erro

para:

c. cos ⁡ 0,01

Passo 1

Vamos usar o polinômio de Taylor de ordem 1 que calculamos anteriormente para a função f ( x )   =   c o s ( 3 x )   em torno de x 0 = 0

P 1 ( x ) = 1

Nesse caso, o polinômio de Taylor de ordem 1 para a função f ( x )   =   c o s ( 3 x ) é simplesmente P 1 x = 1   , pois a derivada f ' ( 0 ) é igual a 0, como calculado anteriormente.

Passo 2

Agora, queremos usar esse polinômio para aproximar o valor de cos ⁡ 0.01 .

O valor aproximado usando o polinômio de Taylor de ordem 1 é P 1 0,01 = 1

O valor exato de cos ⁡ ( 0,01 ) é aproximadamente   0.9999500004166653 .

Agora, vamos avaliar o erro entre essa aproximação e o valor real de cos ⁡ ( 0,01 )

E r r o = V a l o r   R e a l - V a l o r   A p r o x i m a d o

E r r o = 0 . 9999500004166653 - 1

E r r o = - 0 . 00004999958333468  

O erro é aproximadamente - 0.00004999958333468 , o que indica que a aproximação usando o polinômio de Taylor de ordem 1 é ligeiramente maior do que o valor real de cos ⁡ ( 0,01 ) .

Isso ocorre porque o polinômio de Taylor de ordem 1 é uma aproximação local linear e não é tão preciso para valores distantes do ponto x 0 = 0 .

Resposta

- 0 . 00004999958333468

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